W ramach upominania się o uznanie Profesora Władysława Natansona (1864-1937) za pierwszego współtwórcę Statystyki Bosego-Einsteina w fizyce kwantowej, zamieszczamy prace naukową o genezie tej statystyki napisaną przez Profesora Dra Józefa Spałka z Uniwersytetu Jagiellońskiego.

---

STATYSTYKA NATANSONA – BOSEGO – EINSTEINA ?

KRYTYCZNE TAK.

JÓZEF   SPAŁEK

Zakład Teorii Materii Skondensowanej,
Instytut Fizyki im. Mariana Smoluchowskiego
Uniwersytetu Jagiellońskiego,
ul. Reymonta 4, 30-059 Kraków.

Abstrakt

W pracy przedstawiono i przedyskutowano wyniki Władysława Natansona dotyczące uzasadnienia teoretycznego wzoru Plancka na rozkład energii promieniowania elektromagnetycznego w naczyniu, w stanie równowagi termodynamicznej. Podkreślono fundamentalną rolę koncepcji Natansona nierozróżnialności cząstek (fotonów) wprowadzoną już w 1911 r., na co najmniej 12 lat przed pracami Bosego i Einsteina. Zwrócono też uwagę na błędną dziś koncepcję absorpcji wielu fotonów tej samej częstości przez "atomy", co jednak nie wpływa na wyniki tego oryginalnego podejścia, jeśli zastąpić absorbujące czy emitujące promieniowanie atomy przez stany fotonów w naczyniu, czy stany kwantowe materiału.

Spis treści

1. Wstęp : Współczesny pogląd na koncepcję rozkładu statystycznego cząstek

   1. 1.    Pojęcie rozkładu statystycznego (Boltzmann)

   1. 2.    Gęstość stanów dla fotonów

   1. 3.    Uwagi ogólne o rozkładzie statystycznym

2. Kanoniczna wersja rozkładu statystycznego dla fotonów :
   metoda kombinatoryczna Einsteina

3. Oryginalne podejście Natansona: szczegóły ilościowe

   3. 1.    Liczba fotonów na atom (stan)

   3. 2.    Entropia gazu fotonów w obszarze kwantowym i rozkład statystyczny

   3. 3.    Rozkład Plancka

4. Podejście Natansona: omówienie jakościowe

5. Konkluzje

6. Podziękowanie

7. Bibliografia

1.    Wstęp :   Współczesny pogląd na koncepcję rozkładu statystycznego cząstek

Pod pojęciem statystyki cząstek, a w szczególności cząstek kwantowych, rozumiemy ich rozkład w zależności od ich energii. Dotyczą zatem zwykle układu bardzo wielu cząstek i punktem startowym jest koncepcja idealnego gazu kwantowego, czyli układu złożonego z nieoddziałujących i nierozróżnialnych cząstek (to ostatnie pojęcie stanowi główny punkt niniejszego artykułu). Przy takim punkcie startowym mogą się pojawić natychmiast wątpliwości dotyczące stosowalności takiego podejścia także do oddziałujących cząstek i okazuje się, że wyniki otrzymane w tak wyidealizowanej sytuacji stosują się także do wielu realistycznych sytuacji. Co więcej, w przypadku statystycznego podejścia do kwantowej natury światła takim gazem realistycznym jest idealny gaz fotonów opisujących gęstość energii promieniowania elektromagnetycznego, będącego w równowadze termicznej z materią naczynia go ograniczającego. A to, że taki problem jest fundamentalny, pokazał już M. Planck w 1900 roku, a następnie uściślił go W. Natanson w 1911 roku [1] i niezależnie S. Bose [2] w 1923 roku. Zanim jednak zajmiemy się bezpośrednio fundamentalnym wkładem W. Natansona, musimy nieco dokładniej zdefiniować, dlaczego pojęcie rozkładu statystycznego jest takie ważne przy opisie układów wielocząstkowych.

1. 1.   Pojęcie rozkładu statystycznego (Boltzmann)

Fizyka statystyczna, zajmująca się układem wielu cząstek w równowadze z otoczeniem (ale także przepływami hydrodynamicznymi w układach nierównowagowych), na swym podstawowym poziomie odchodzi od opisu czysto mechanicznego, gdyż określa rozkład cząstek po energiach przy zadanej temperaturze T i ich gęstości N/V (średniej liczby cząstek przypadającej na jednostkę objętości). Temperatura T określa średni przekaz energii z na ogół chaotycznego otoczenia. Aspekt mechaniczny pojawia się jedynie pod postacią liczby dostępnych stanów g(Î) dla zadanej energii Î cząstki, rozumianej też jako gęstość stanów, gdy energia dostępna dla cząstki pobudzonej szumem termicznym jest dowolna.

W ogólności, możemy napisać, że liczba cząstek w małym przedziale dÎ zawierającym energie Î, zadana jest poprzez relację

dn(Î) = f(Î) g(Î) dÎ            (1)

gdzie f(Î) jest prawdopodobieństwem (jego gęstością) obsadzenia dowolnego stanu o energii Î, natomiast g(Î)dÎ jest liczbą tych stanów dostępnych dla cząstki w tym przedziale. W takim przypadku, całkowita liczba cząstek N zadana jest przez

           (2)

a energia E zgromadzona w układzie wynosi

           (3)

gdzie całkowanie ma miejsce po przedziale dostępnych energii dla pojedynczej cząstki. Wzory (1)-(3) stanowią podstawę opisu makroskopowego układu tych wielu cząstek, przy czym o ile Î jest energią mechaniczną cząstki, to E jest energią wewnętrzną, gdyż zawiera energię stanu stacjonarnego układu będącego w kontakcie termicznym z otoczeniem. Znalezienie funkcji f(Î) oraz g(Î) stanowi zatem rozwiązanie opisu termodynamicznego.

1. 2.   Gęstość stanów dla fotonów

Załóżmy, za Natansonem, że potrafimy policzyć funkcję g(Î) stanowiącą liczbę dostępnych stanów kwantowych dla fotonów w naczyniu o objętości V. Ponieważ wielkość tę wyznaczył już Planck, więc posłużymy się tutaj tym wynikiem. A mianowicie gęstość ta wynosi

           (4)

gdzie w jest częstością promieniowania. Mając formuły (3) oraz (4), pozostaje nam wyznaczyć jedynie funkcję f(Î), którą się jeszcze zajmiemy. Ale najpierw podamy kilka uwag historycznych na temat tej funkcji rozkładu.

1. 3.   Uwagi ogólne o rozkładzie statystycznym

Koncepcja rozkładu statystycznego energii cząstek została wprowadzona przez Boltzmanna, który zauważył, że w układach złożonych z bardzo wielu atomów (wtedy jeszcze hipotetyczne obiekty !) należy znaleźć optymalny rozkład cząstek, gdyż pojęcie równowagi mechanicznej nie jest tutaj zasadnicze, a nawet właściwe w sytuacji, gdy mamy szum termiczny w układzie. Na podstawie rozważań kombinatorycznych (do których niebawem przejdziemy) otrzymał następujący wynik, że

f(Î) = A e^–Î/k_B^T            (5)

gdzie stała A wyznaczona jest z warunku

           (6)

co prowadzi do wniosku, że A=(k_BT)^-1, gdzie k_B jest stałą Boltzmanna. Wstawienie wzoru (5) do wyrażenia (3) nie prowadzi do poprawnych wyników, nawet gdy zastosujemy relację Plancka Î = hw, gdzie h=h/2p, a h jest stałą Plancka. Należało zatem, według Plancka [3] zmienić wyrażenie (5) i założyć, że promieniowanie o zadanej częstości może być tylko emitowane paczkami o energiach Î_n = nhw, gdzie n=0, 1, 2, ... i znaleźć średnią energię

           (7)

już korzystając z rozkładu Boltzmanna. Einstein zinterpretował stany o energii nhw jako stany z n fotonami w zbiorniku, przy czym fotony te są cząstkowym odpowiednikiem fal o tej samej częstości. Jednakże, formuła na U(w) była dalej niezadowalająca, gdyż używamy rozkładu Boltzmanna z jednej strony (cząstki klasyczne), a z drugiej strony wysoce hipotetyczne obiekty dyskretne ("kwantowe") o energii hw. Należało się tutaj popisać inwencyjnością w znalezieniu jednolitej, spójnej zasady, która doprowadziłaby do formuły na U(w). Taką zasadę znalazł W. Natanson [1], i to na 12 lat przed pracą Bosego (1923).

2.     Kanoniczna wersja rozkładu statystycznego dla fotonów :
        metoda kombinatoryczna Einsteina

Odwrócimy tutaj kolejność historyczną odkryć, referując najpierw bardziej współczesne ujęcie rozkładu. Pozwoli nam to na przyjrzenie się nietrywialności podejścia Natansona do tego problemu. Rozkład statystyczny dla fotonów w postaci, w jakiej go obecnie znamy w podręcznikach [4], wyprowadza się w następujący sposób. Wychodzi się od faktu, że liczba obsadzeń na danym poziomie energetycznym Î_i wynosi n_i, przy czym 0 £  n_i £  ¥. Rozkład ten wyznaczamy w następujący sposób. Jeśli mamy g_i º   g(Î_i) stanów możliwych w stanie o energii Î_i, to wtedy ze względu na to, że na każdym poziomie może być dowolna liczba cząstek, problem równoważny jest znalezieniu liczby sposobów postawienia g_i – 1 przegród dla n_i cząstek. To właśnie pomieszanie g_i stanów (przegród) z obsadzeniami wprowadza w sposób jawny zasadę nierozróżnialności cząstek i odzwierciedla sytuację, kiedy nie wiemy fizycznie, która cząstka jest w którym z tych g_i stanów o tej samej wartości energii. Liczba fizycznie nierównoważnych mikrokonfiguracji w takim układzie jest wtedy inna niż dla cząstek klasycznych, kiedy przegrody nie mieszają się z cząstkami i wynosi obecnie

.            (8)

Oczywiście, liczba konfiguracji dla całego układu wynosi wtedy

           (9)

gdzie iloczyn obejmuje wszystkie możliwe stany jednocząstkowe o różnych dopuszczalnych wartościach energii. Znaczenie wzoru (8) staje się jaśniejsze jak spojrzymy na Rys. 1, gdzie następuje mieszanie się cząstek i przegród (stanów). Poszczególne stany o tej wartości energii są więc "komórkami" dla cząstek.

Rysunek 1.   Rozkład cząstek po g_i stanach (komórkach) o tej samej energii Î_i. Poszczególne stany są przedstawione jako przegrody dla cząstek. Okoliczność, że możemy te przegrody wstawić w dowolne miejsca rozdzielając n_i cząstek jest wyrazem nierozróżnialności cząstek wynikającej z ich natury kwantowej.

Za Boltzmannem uznajemy, że stan równowagi termodynamicznej to stan o maksymalnej liczbie konfiguracji W = W_max (czyli stan najbardziej prawdopodobny) przy zadanej energii E = S_i Î_i  n_i. Ze względu na to, że wygodniej jest optymalizować wielkość addytywną (która okazała się być entropią układu) funkcjonał, który maksymalizujemy przy zadanym E ma postać

.            (10)

Stałą proporcjonalności przy ln W nazwał Planck stałą Boltzmanna, a jej wartość wynosi k_B = 1.380658 x 10^-23 [J/K]. Natomiast zakładając, że zarówno g_i, jak i n_i są dużymi liczbami (>> 1) możemy warunek konieczny na maksimum F{n_i} zapisać w postaci różniczkowej ¶ F/¶ n_i = 0. Prowadzi to do następującego wyrażenia na wartość najbardziej prawdopodobną   (przy założeniu przybliżenia Stirlinga dla silni ln x! »  x (ln x - 1))

.            (11)

Porównując to wyrażenie z tym w przypadku klasycznym (wzór Boltzmanna) dla wysoko-energetycznych stanów (Î_i ®  ¥) oraz definiując potencjał chemiczny jako a ₀ = m / (k_BT), gdzie T jest temperaturą bezwzględną, otrzymamy ten rozkład w postaci jawnej

           (12)

Wzór (5) po wzięciu pod uwagę, że rozkład energii jest ciągły tj. Î_i®  Î  = hw, natomiast ® n(w) = f(w) g(w), gdzie

.            (13)

Wzór (13) stanowi zatem modyfikację wzoru Boltzmanna (5) i uzyskaliśmy go, podkreślamy raz jeszcze, przez pomieszanie przegród z cząstkami, wyrażając w ten sposób naszą niewiedzę, iż nie jesteśmy w stanie powiedzieć, w którym stanie jest foton, gdy ma ich dostępnych g_i przy zadanej częstości w_i. Taką zasadę zliczania rozdziału cząstek po stanach o tej samej energii nazwaliśmy zasadą nierozróżnialności. Ponadto założyliśmy, że potencjalnie liczba fotonów (kwantów świetlnych) w stanie o energii Î_i = ħw_i może być dowolna, tj. n_i = 0, 1, 2, ... . Skończona jest natomiast liczba określająca najbardziej prawdopodobną liczbę fotonów o częstości w_i w układzie o temperaturze T. Taka sytuacja odzwierciedla fakt, że liczba fotonów emitowanych i absorbowanych może się zmieniać (ich liczba nie jest zachowana), a liczba fotonów według wzoru (2) opisuje w przybliżeniu średnią liczbę fotonów w układzie w sytuacji, gdy średnia energia termiczna jaka posiada układ jest określona przez temperaturę ścian materialnych naczynia.

Po takim przygotowaniu formalnym jesteśmy w stanie przeanalizować pokrótce oryginalne podejście Natansona. Będę tutaj posługiwał się Jego podręcznikiem z 1912 roku na temat teorii promieniowania [5].

Władysław Natanson.
Z plakatu wystawy pt. ...miał wzrok zwrócony ku horyzontom dalekim...
poświęconej Władysławowi Natansonowi, PAU, Kraków 2004.

3.     Oryginalne podejście Natansona :   szczegóły ilościowe

W poprzednim punkcie otrzymaliśmy wartość najbardziej prawdopodobnej liczby obsadzeń   dla cząstek przy dostępnych g_i stanach o zadanej wartości energii cząstki Î_i. Innymi słowy, otrzymaliśmy wartości /g_i prawdopodobieństwa obsadzenia poziomu energetycznego Î_i, które możemy nazwać prawdopodobieństwem lokalnym, bo dotyczy obsadzenia pojedynczej "komórki" (stanu) i-tego.

3. 1.     Liczba fotonów na atom (stan)

Inaczej do obliczenia     podszedł Natanson. Po pierwsze, autor zamiast mówić o "komórkach" (czyli o liczbie g_i dostępnych stanów kwantowych) mówi o "atomach materyi", z których każdy może zawierać n_i = 0, 1, 2, ..., p kwantów o energii Î_i = e = ħw   (jest to niepoprawne założenie, ale pamiętajmy, że to rok 1911 i teoria Bohra budowy atomu jeszcze nie powstała !). Natomiast Natanson definiuje liczbę N_i atomów (powinno być stanów) zawierających i fotonów o zadanej częstości. Zatem N_i opisuje liczbę atomów z zaabsorbowanymi i kwantami. Oprócz tego, wprowadza liczbę n_I jako liczbę kwantów w atomie I-tym.

Natanson następnie wprowadza liczbę konfiguracji, które nazwalibyśmy globalnymi. A mianowicie, uważa, że "atomy materyi" absorbujące i emitujące kwanty są rozróżnialne i w związku z tym liczba fizycznie nierównoważnych konfiguracji atomów wyraża się jako

.            (14)

Dodatkowo, liczba rozkładów wspólnych dla N atomów i n kwantów (fotonów), gdy fotony są nierozróżnialne wynosi

.            (15)

Symbol S U oznacza tu sumę konfiguracji rozmieszczeń atomów z n fotonami oraz n fotonów pomiędzy atomami. Zauważmy od razu, że wzór powyższy ma taka samą postać jak wzór (8). Jednakże tam zamiast całkowitej liczby atomów mamy liczbę stanów g_i o zadanej energii Î_i. Podobnie z n_i. Zatem n obecnie musi odgrywać rolę średniej liczby fotonów w układzie (czy też wartości najbardziej prawdopodobnej). Widać teraz dlaczego podejście obecne jest podejściem globalnym, w którym zadane są dwie liczby:

           (16)

.            (17)

Następnie wprowadzamy prawdopodobieństwo P rozważanego rozdziału energii. W tym celu definiujemy wielkość

.            (18)

To prawdopodobieństwo opisuje typową konfigurację z n fotonami w układzie. Przyjmuje ono wartość maksymalną przy zadanym n oraz N, gdy iloczyn     przyjmuje wartość minimalną. Stąd też, cały problem sprowadza się do znalezienia minimum warunkowego wyrażenia

           (19)

gdzie podobnie jak poprzednio (por. (10)) wzięliśmy logarytm minimalizowanej funkcji, a wielkości U oraz V są parametrami (mnożnikami Lagrange'a). Podobnie jak poprzednio, stosujemy formułę Stirlinga do pierwszego wyrazu, a także uważamy N_i na tyle duże, że możemy szukać minimum F względem zmiennych {N_i} jako argumentu ciągłego. Wtedy, warunek ¶ F/¶ N_i = 0 prowadzi do związku

.            (20)

Parametr U jest określony przez przepisanie tego równania dla i = 0, co prowadzi do zależności

U = –ln N₀ .            (21)

Natomiast, definiując V w postaci

V = –ln x            (22)

otrzymujemy rozwiązanie równania (20) w postaci

N_i = N₀ xⁱ .            (23)

Zauważmy, że wielkość x jest nadal nieokreślona (także N₀), ale przy normalnym rozkładzie należy oczekiwać, że 0 <x <1. Ale ta relacja pozwala nam przepisać równania (16) oraz (17) w następujący sposób, odpowiednio:

N₀ + N₀ x + N₀ x² + ...+ N₀ x^p  =  N            (24)

N₀ x + 2 N₀ x² + ... + pN₀ x^p = n            (25)

Układ tych równań zostaje sprowadzony do jednego przez wprowadzenie, jak się okazuje dopiero teraz, fundamentalnej wielkości

,            (26)

a mianowicie, dzieląc wielomian (25) przez (24) przy założeniu, że N₀ ¹  0, otrzymamy równanie

f(x) = (p – Q) x^p – (p – 1 – Q) x^p–1 + ... + (1 – Q) x – Q = 0            (27)

Równanie to jest równaniem na wielkość x przy zadanym p oraz Q. W świetle tego co wiemy obecnie, założenie, że p < ¥ może się wydawać nieuzasadnione, ale skomentujemy to w sensie pozytywnym w następnym punkcie. Na razie, przeanalizujemy rozwiązania Natansona, aby problem został domknięty.

W tym momencie zaczyna się rozumowanie fizyczne Natansona, gdyż charakter rozwiązania zależy od stosunku q = n/N, który powinien być wielkością wyjściową teorii. Wiedząc, z twierdzeń "przypisywanych Harriotowi bądź Kartezyuszowi", że ponieważ f(0) < 0, a f(1) > 0, równanie (27) może mieć tylko jeden pierwiastek x > 0. Problem w tym, jaka jest wartość Q: Q << 1, czy Q >> 1 ? Skracając dywagacje autora możemy powiedzieć, że oczywiście dla temperatury niskiej (T®  0) Q << 1, natomiast w obszarze klasycznym z pewnością mamy Q ³  1, jeśli nie Q >> 1, gdyż wtedy T®  ¥ i liczba fotonów zawartych w szumie termicznym może być dowolnie duża.

3. 2.     Entropia gazu fotonów w obszarze kwantowym i rozkład statystyczny

Niestety linia dotychczasowego rozumowania się załamuje i żeby wyciągnąć wnioski z (27) wprowadzamy dodatkowy składnik. A mianowicie, autor zauważył, że entropia takiego gazu fotonów przy zadanej liczbie N atomów ma postać na podstawie równania (15) i uwzględnieniu formuły Stirlinga

S = k_B ln [N (ln N – 1) - S  N_i ( ln N_i – 1 )].            (28)

Natanson wprowadza w formule (28) dodatkową stałą, którą ignorujemy, bo gaz kwantowy winien mieć entropię zero, gdy nie ma kwantów (zob. poniżej, gdzie wypiszemy ten wzór w bardziej odpowiedniej postaci). Biorąc pod uwagę, że N_i = N₀ xⁱ, otrzymamy

S = k_B { N ln N – N ln N₀ – n ln x } .            (29)

W tym momencie Natanson robi zasadnicze przybliżenie, a mianowicie uważa, że popełniony jest mały błąd jeśli założymy, że

           (30)

gdyż uważamy, że Q << 1 (granica kwantowa). Wtedy otrzymujemy następujący wzór na entropię

S = k_B { (n+N) ln (n+N) – n ln n - N ln N } .            (31)

Łatwo to wyrażenie doprowadzić do postaci

S = k_B N [ (1+f) ln (1+f) – f ln f ]            (32)

gdzie

.            (33)

Jest to entropia gazu n fotonów rozmieszczonych w N atomach. W stanie równowagi, z definicji termodynamicznej temperatury mamy

.            (34)

Uważając, że dla każdej częstości promieniowania mamy stan równowagi można przyjąć, że dla zadanej energii (częstości w) E = n e º nħw i wobec tego

           (35)

a stąd otrzymamy

.            (36)

Jest to poszukiwany wzór na rozkład statystyczny fotonów. To rozwiązanie, otrzymane w granicy n/N << 1, prowadzi do rozkładu Boltzmanna w granicy ħw/k_BT >> 1. Zatem, należy oczekiwać, iż ten wzór wyprowadzony przez Natansona ma charakter ogólny mimo jego wyprowadzenia w szczególnych warunkach. Tak jest istotnie, z czego chyba Natanson nie zdawał sobie sprawy (a szkoda !).

Widzimy zatem, że dla domknięcia teorii należy się posłużyć tylko związkiem N_i = N₀ xⁱ oraz wyrażeniem dla entropii gazu fotonów. Autor niniejszego opracowania zdaje sobie sprawę z dłużyzny obecnego argumentu. Biorąc jednak pod uwagę okoliczność, iż jest to prawdopodobnie pierwsze, a być może jedyne opracowanie teorii fotonów według Natansona, uważa za usprawiedliwione podanie go w szczegółach. W następnym punkcie omówimy krótko jakościowo (krytycznie) to podejście, tak by ewentualny historyk nauki mógł się odnieść tylko w skrócie do podejścia Natansona.

3. 3.     Rozkład Plancka

Rozkład (36) zwany obecnie rozkładem Bosego-Einsteina został zaproponowany przez Plancka na podstawie założenia, że absorpcja lub emisja promieniowania o zadanej częstości dokonuje się skokami, tj. energia takich procesów wynosi E_i = iħw. Einstein (1906) dopowiedział, że łatwo sobie wyobrazić takie procesy absorpcji i emisji paczkami ħw, gdyż samo promieniowanie elektromagnetyczne widocznie składa się z cząstek, fotonów, o energii ħw, a energia fali elektromagnetycznej o zadanej częstości zawiera z reguły wiele takich kwantów. Hipoteza Einsteina znalazła piękne potwierdzenie w wytłumaczeniu efektu fotoelektrycznego, ale także później w interpretacji efektu Comptona i wielu innych eksperymentach. Oczywiście, nie było wiadomo (i dalej nie wiemy !) jak dokładniej związać te fotony jako cząstki z falami elektromagnetycznymi; postulujemy jedynie interpretację statystyczną Borna jako probabilistyczną interpretację formalizmu falowego w języku cząstek.

Zostawiając jednak z boku całą tę dyskusję, nie rozwiązaną do dziś, chcemy przy pomocy wzoru (36), zinterpretowanego jako rozkład najbardziej prawdopodobny, znaleźć wzór na średnią energię U(w) dw zawartą w promieniowaniu o przedziale częstości [w, w + dw]. Tutaj korzystamy z wzoru (3):

           (37)

gdzie r(w) jest gęstością stanów (4) czyli liczbą fal świetlnych na jednostkowy przedział częstości, f(w) = [exp(ħw/k_BT) – 1]^-1 jest prawdopodobieństwem obsadzenia fotonem o tej energii przypadającym na stan (na "atom" w języku Natansona). Zauważmy, że Natanson naprawdę interpretuje wszystko w stylu Plancka (a nie Einsteina): w naczyniu (wnęce) propagują się fale (stąd r(w) w języku falowym); natomiast f(w) jest zadane w języku cząstkowym dla materiału. To samo f(w) należy stosować do materiału tworzącego naczynie dla fal, jak i do fal, ponieważ są one względem siebie w równowadze.

Jest zadziwiającym, że tak skomplikowane etapy rozumowania dowiodły Natansona do tak prostego wyniku. Najprawdopodobniej nie byłoby to możliwe, gdyby autor nie znał z góry wyniku, który chce otrzymać, tj. wzoru na rozkład Plancka. Jednakże, Natanson użył po raz pierwszy fundamentalnej zasady, znajdującej swe odzwierciedlenie we wzorze (15); jest nią nierozróżnialność fotonów, co przedyskutujemy w następnym punkcie.

4.     Podejście Natansona: omówienie jakościowe

Przypuszczam, że Czytelnik nie będzie się chciał wgłębiać w detale argumentu ilościowego podanego w punktach 2 oraz 3. Wobec tego omówimy tutaj (i skrytykujemy) główne cechy podejścia Natansona.

Niewątpliwie, istnieje różnica pomiędzy podejściem Bosego i Natansona do wyprowadzenia wzoru Plancka. Natanson użył tutaj jako "komórki" absorbującej lub emitującej foton po prostu atom. Bose mówi już o stanach ("modach") samego promieniowania, co jest bardziej prawidłowe ze współczesnego punktu widzenia. Jednakże, nie ma to znaczenia w ilościowej analizie, gdy tylko zastąpimy słowo "atom materyi" Natansona odpowiednią częstością drgań dopuszczalną w naczyniu (we wnęce zawierającej promieniowanie). W ten sposób, rozkład promieniowania jest określone przez nie same będące w równowadze ze ścianami materialnymi naczynia. Takie podejście jest poprawne i upraszcza analizę niezmiernie, pod warunkiem, że przyjmuje się zasadę nierozróżnialności fotonów wprowadzoną właśnie przez Natansona co najmniej 12 lat wcześniej, co jest głównym powodem do Jego chwały.

Nierozróżnialność cząstek objawia się tutaj po raz pierwszy jako to, że nie wiemy, które fotony są w zadanym atomie. Natanson napisał o tym fakcie bardzo obrazowo (por. [5], str. 55-56):

"Rozważaliśmy przed chwilą rozdziały (rozkłady – przyp. J.S.) energii. Gdy o nich mówimy, nie jesteśmy obowiązani przypuszczać z tego tytułu, że możemy rozpoznawać atomy albo jednostki energii (kwanty zaabsorbowane przez te atomy - przyp. J.S.). Jeżeli chcemy wyznaczyć pewien rozdział energii, powinniśmy podać liczbę atomów, które uzyskują (każdy) pewną wiadoma liczbę jednostek energii; ale w tym celu nie potrzeba nam wiedzieć, które mianowicie atomy otrzymały tę liczbę. Inaczej mają się rzeczy, gdy zajmujemy się rozkładami energii (na poszczególne atomy – przyp. J.S.). Nie moglibyśmy określić pojęcia rozkładu, gdybyśmy nie przypuszczali implicite w określeniu, że możemy odróżniać atomy, że potrafimy przekonać się o tem, z którym atomem mamy do czynienia. Takie założenie zawiera się w samem pojęciu rozkładu. Co do jednostek energii zawiera się w niem jednak założenie przeciwne. Tworząc rozkłady, postępujemy tak, jak gdybyśmy nie umieli stwierdzić tożsamości jednostek".

Ten cytat możemy skomentować tylko następująco: co za piękne wyrażenie słowne różnicy pomiędzy sposobem wyrażenia wzorem (18) liczby konfiguracji cząstek nierozróżnialnych z jednej strony, a wzorem (15) z drugiej dla rozróżnialnych i niezależnych statystycznie podukładów ! Innymi słowy, te wcześniejsze dwa wyrażają nierozróznialność poszczególnych fotonów ("nie wiadomo w którym atomie są"), zaś te drugie dwa operują tylko rozróżnialnymi liczbami konfiguracji, rozróżnialnych komórek, atomów, czy stanów. Tak więc, Natanson jest odkrywcą fundamentalnej zasady nierozróżnialności cząstek kwantowych (fotonów) (całkiem nietrywialna koncepcja nawet dzisiaj  !). Można nawet zaryzykować stwierdzenie, że zauważył jego głębię w odróżnieniu od Bosego, który go explicite nie wyodrębnił i w związku z tym jego praca była w większym stopniu heurystyczna (w tym samym stylu, co heurystyka Plancka przy wprowadzeniu kwantów energii hn).

Poza tym, zarówno Natanson, jak i Bose, przyjmują hipotezę Plancka kwantów energii (Î  = hn  = ħw) bez dyskusji.

Rysunek 2.   Strona monografii [5] z jawnym wyrażeniem na rozkład statystyczny dla liczby fotonów n o energii e=hw przy N dostępnych stanach (funkcja wykładnicza ma symbol e). Zauważmy także wzór (3) na entropię bozonów o zadanej energii hw (wynik dla całkowitej entropii jest podany jako równanie (32) w obecnej pracy).

5.     Konkluzje

Zatem, czy na pytanie postawione w tytule odpowiedź jest twierdząca ? Moim zdaniem, TAK ! Niestety, taki stan rzeczy ma już tylko znaczenie historyczne. Nie pierwszy to raz, kiedy izolacja lokalnego środowiska od świata, a przede wszystkim publikowanie w mało znanych czasopismach naukowych prowadzi do zapomnienia. Szkoda. Dziś przynajmniej mamy strony internetowe do propagacji swoich idei, nawet kontrowersyjnych.

Ciekawa jest także okoliczność, że Natanson nie próbował zabrać głosu na temat swoich prac już po publikacjach Bosego i Einsteina. Być może wynikało to z jego zajęcia się bardziej popularyzacją w późniejszych latach życia. Nie potrafię na to pytanie odpowiedzieć inaczej.

6.     Podziękowanie

Chciałbym wyrazić wdzięczność Profesorowi Bronisławowi Średniawie za zwrócenie uwagi na potrzebę szerszego omówienia tego aspektu fundamentalnego prac Natansona (por. także Ref. [6]), a także Profesorom Adamowi Strzałkowskiemu i Andrzejowi Fulińskiemu za zachętę do wygłoszenia referatu na ten temat. Autor dziękuje także Fundacji na Rzecz Nauki Polskiej za finansowe wsparcie niezależnych badań.

2004

7.     Bibliografia

1. L. Natanson, "On statistical theory of radiation", Extraits du Bulletin de l'Academie des Sciences de Cracovie, Série A, pp. 134-148 (1911); tam¿e, wersja niemiecka: Physikalische Zeitschrift 12, 659-666 (1911).
2. S. N. Bose, Z. Phys. 26, 178 (1924).
3. M. Planck, Verh. Deutsch. Phys. Ges. 2, 237 (1900); Ann. Phys. 4, 553 (1901); zob. także artykuł popularny na stulecie wzoru i stałej Plancka: A. Kiejna, Postępy Fizyki 51, 294-302 (2000).
4.  
5. Patrz np. L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Statistical physics, 3-rd Edition, Part 1, §55, Pergamon Press, Oxford, 1986.
6. W. Natanson, Zasady teoryi promieniowania, Wydawnictwo Redakcji Prac Matematyczno-Fizycznych, Warszawa, 1912.
7. B. Średniawa, Złota Księga Wydziału Matematyki i Fizyki, pod redakcją B. Szafirskiego, str. 454-5, Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków, 2000.

---

Prof. Dr Józef Spałek, ur. 1946, studia fizyczne w UJ; doktorat w 1974 (AGH); habilitacja w 1981 (UJ); profesura w 1991 (UW); od 1993 r. z powrotem w Instytucie Fizyki UJ. Kierownik Zakładu Teorii Materii Skondensowanej Instytutu Fizyki im. Mariana Smoluchowskiego Uniwersytetu Jagiellońskiego, stypendysta Fundacji na Rzecz Rozwoju Nauki Polskiej (subsydium profesorskie na lata 2003-2006). Autor ponad 200 prac naukowych. Zajmuje się układami silnie skorelowanych fermionów, w tym nadprzewodnictwem wysokotemperaturowym oraz kwantowymi przemianami fazowymi i kwantowymi zjawiskami krytycznymi. Wypromował 10 doktorów w kraju i 3 zagranicą.

Copyright © 1997-2005 Zwoje