W ramach upominania sie o uznanie Profesora Wladyslawa Natansona (1864-1937) za pierwszego wspoltworce Statystyki Bosego-Einsteina w fizyce kwantowej, zamieszczamy prace naukowa o genezie tej statystyki napisana przez Profesora Dr. Jozefa Spalka z Uniwersytetu Jagiellonskiego.

---

STATYSTYKA NATANSONA – BOSEGO – EINSTEINA ?

KRYTYCZNE TAK.

JOZEF   SPALEK

Zaklad Teorii Materii Skondensowanej,
Instytut Fizyki im. Mariana Smoluchowskiego
Uniwersytetu Jagiellonskiego,
ul. Reymonta 4, 30-059 Krakow.

Abstrakt

W pracy przedstawiono i przedyskutowano wyniki Wladyslawa Natansona dotyczace uzasadnienia teoretycznego wzoru Plancka na rozklad energii promieniowania elektromagnetycznego w naczyniu, w stanie rownowagi termodynamicznej. Podkreslono fundamentalna role koncepcji Natansona nierozroznialnosci czastek (fotonow) wprowadzona juz w 1911 r., na co najmniej 12 lat przed pracami Bosego i Einsteina. Zwrocono tez uwage na bledna dzis koncepcje absorpcji wielu fotonow tej samej czestosci przez "atomy", co jednak nie wplywa na wyniki tego oryginalnego podejscia, jesli zastapic absorbujace czy emitujace promieniowanie atomy przez stany fotonow w naczyniu, czy stany kwantowe materialu.

Spis tresci

1. Wstep : Wspolczesny poglad na koncepcje rozkladu statystycznego czastek

   1. 1.    Pojecie rozkladu statystycznego (Boltzmann)

   1. 2.    Gestosc stanow dla fotonow

   1. 3.    Uwagi ogolne o rozkladzie statystycznym

2. Kanoniczna wersja rozkladu statystycznego dla fotonow :
   metoda kombinatoryczna Einsteina

3. Oryginalne podejscie Natansona: szczegoly ilosciowe

   3. 1.    Liczba fotonow na atom (stan)

   3. 2.    Entropia gazu fotonow w obszarze kwantowym i rozklad statystyczny

   3. 3.    Rozklad Plancka

4. Podejscie Natansona: omowienie jakosciowe

5. Konkluzje

6. Podziekowanie

7. Bibliografia

1.    Wstep :   Wspolczesny poglad na koncepcje rozkladu statystycznego czastek

Pod pojeciem statystyki czastek, a w szczegolnosci czastek kwantowych, rozumiemy ich rozklad w zaleznosci od ich energii. Dotycza zatem zwykle ukladu bardzo wielu czastek i punktem startowym jest koncepcja idealnego gazu kwantowego, czyli ukladu zlozonego z nieoddzialujacych i nierozroznialnych czastek (to ostatnie pojecie stanowi glowny punkt niniejszego artykulu). Przy takim punkcie startowym moga sie pojawic natychmiast watpliwosci dotyczace stosowalnosci takiego podejscia takze do oddzialujacych czastek i okazuje sie, ze wyniki otrzymane w tak wyidealizowanej sytuacji stosuja sie takze do wielu realistycznych sytuacji. Co wiecej, w przypadku statystycznego podejscia do kwantowej natury swiatla takim gazem realistycznym jest idealny gaz fotonow opisujacych gestosc energii promieniowania elektromagnetycznego, bedacego w rownowadze termicznej z materia naczynia go ograniczajacego. A to, ze taki problem jest fundamentalny, pokazal juz M. Planck w 1900 roku, a nastepnie uscislil go W. Natanson w 1911 roku [1] i niezaleznie S. Bose [2] w 1923 roku. Zanim jednak zajmiemy sie bezposrednio fundamentalnym wkladem W. Natansona, musimy nieco dokladniej zdefiniowac, dlaczego pojecie rozkladu statystycznego jest takie wazne przy opisie ukladow wieloczastkowych.

1. 1.   Pojecie rozkladu statystycznego (Boltzmann)

Fizyka statystyczna, zajmujaca sie ukladem wielu czastek w rownowadze z otoczeniem (ale takze przeplywami hydrodynamicznymi w ukladach nierownowagowych), na swym podstawowym poziomie odchodzi od opisu czysto mechanicznego, gdyz okresla rozklad czastek po energiach przy zadanej temperaturze T i ich gestosci N/V (sredniej liczby czastek przypadajacej na jednostke objetosci). Temperatura T okresla sredni przekaz energii z na ogol chaotycznego otoczenia. Aspekt mechaniczny pojawia sie jedynie pod postacia liczby dostepnych stanow g(Î) dla zadanej energii Î czastki, rozumianej tez jako gestosc stanow, gdy energia dostepna dla czastki pobudzonej szumem termicznym jest dowolna.

W ogolnosci, mozemy napisac, ze liczba czastek w malym przedziale dÎ zawierajacym energie Î, zadana jest poprzez relacje

dn(Î) = f(Î) g(Î) dÎ            (1)

gdzie f(Î) jest prawdopodobienstwem (jego gestoscia) obsadzenia dowolnego stanu o energii Î, natomiast g(Î)dÎ jest liczba tych stanow dostepnych dla czastki w tym przedziale. W takim przypadku, calkowita liczba czastek N zadana jest przez

           (2)

a energia E zgromadzona w ukladzie wynosi

           (3)

gdzie calkowanie ma miejsce po przedziale dostepnych energii dla pojedynczej czastki. Wzory (1)-(3) stanowia podstawe opisu makroskopowego ukladu tych wielu czastek, przy czym o ile Î jest energia mechaniczna czastki, to E jest energia wewnetrzna, gdyz zawiera energie stanu stacjonarnego ukladu bedacego w kontakcie termicznym z otoczeniem. Znalezienie funkcji f(Î) oraz g(Î) stanowi zatem rozwiazanie opisu termodynamicznego.

1. 2.   Gestosc stanow dla fotonow

Zalozmy, za Natansonem, ze potrafimy policzyc funkcje g(Î) stanowiaca liczbe dostepnych stanow kwantowych dla fotonow w naczyniu o objetosci V. Poniewaz wielkosc te wyznaczyl juz Planck, wiec posluzymy sie tutaj tym wynikiem. A mianowicie gestosc ta wynosi

           (4)

gdzie w jest czestoscia promieniowania. Majac formuly (3) oraz (4), pozostaje nam wyznaczyc jedynie funkcje f(Î), ktora sie jeszcze zajmiemy. Ale najpierw podamy kilka uwag historycznych na temat tej funkcji rozkladu.

1. 3.   Uwagi ogolne o rozkladzie statystycznym

Koncepcja rozkladu statystycznego energii czastek zostala wprowadzona przez Boltzmanna, ktory zauwazyl, ze w ukladach zlozonych z bardzo wielu atomow (wtedy jeszcze hipotetyczne obiekty !) nalezy znalezc optymalny rozklad czastek, gdyz pojecie rownowagi mechanicznej nie jest tutaj zasadnicze, a nawet wlasciwe w sytuacji, gdy mamy szum termiczny w ukladzie. Na podstawie rozwazan kombinatorycznych (do ktorych niebawem przejdziemy) otrzymal nastepujacy wynik, ze

f(Î) = A e^–Î/k_B^T            (5)

gdzie stala A wyznaczona jest z warunku

           (6)

co prowadzi do wniosku, ze A=(k_BT)^-1, gdzie k_B jest stala Boltzmanna. Wstawienie wzoru (5) do wyrazenia (3) nie prowadzi do poprawnych wynikow, nawet gdy zastosujemy relacje Plancka Î = hw, gdzie h=h/2p, a h jest stala Plancka. Nalezalo zatem, wedlug Plancka [3] zmienic wyrazenie (5) i zalozyc, ze promieniowanie o zadanej czestosci moze byc tylko emitowane paczkami o energiach Î_n = nhw, gdzie n=0, 1, 2, ... i znalezc srednia energie

           (7)

juz korzystajac z rozkladu Boltzmanna. Einstein zinterpretowal stany o energii nhw jako stany z n fotonami w zbiorniku, przy czym fotony te sa czastkowym odpowiednikiem fal o tej samej czestosci. Jednakze, formula na U(w) byla dalej niezadowalajaca, gdyz uzywamy rozkladu Boltzmanna z jednej strony (czastki klasyczne), a z drugiej strony wysoce hipotetyczne obiekty dyskretne ("kwantowe") o energii hw. Nalezalo sie tutaj popisac inwencyjnoscia w znalezieniu jednolitej, spojnej zasady, ktora doprowadzilaby do formuly na U(w). Taka zasade znalazl W. Natanson [1], i to na 12 lat przed praca Bosego (1923).

2.     Kanoniczna wersja rozkladu statystycznego dla fotonow :
        metoda kombinatoryczna Einsteina

Odwrocimy tutaj kolejnosc historyczna odkryc, referujac najpierw bardziej wspolczesne ujecie rozkladu. Pozwoli nam to na przyjrzenie sie nietrywialnosci podejscia Natansona do tego problemu. Rozklad statystyczny dla fotonow w postaci, w jakiej go obecnie znamy w podrecznikach [4], wyprowadza sie w nastepujacy sposob. Wychodzi sie od faktu, ze liczba obsadzen na danym poziomie energetycznym Î_i wynosi n_i, przy czym 0 £  n_i £  ¥. Rozklad ten wyznaczamy w nastepujacy sposob. Jesli mamy g_i º   g(Î_i) stanow mozliwych w stanie o energii Î_i, to wtedy ze wzgledu na to, ze na kazdym poziomie moze byc dowolna liczba czastek, problem rownowazny jest znalezieniu liczby sposobow postawienia g_i – 1 przegrod dla n_i czastek. To wlasnie pomieszanie g_i stanow (przegrod) z obsadzeniami wprowadza w sposob jawny zasade nierozroznialnosci czastek i odzwierciedla sytuacje, kiedy nie wiemy fizycznie, ktora czastka jest w ktorym z tych g_i stanow o tej samej wartosci energii. Liczba fizycznie nierownowaznych mikrokonfiguracji w takim ukladzie jest wtedy inna niz dla czastek klasycznych, kiedy przegrody nie mieszaja sie z czastkami i wynosi obecnie

.            (8)

Oczywiscie, liczba konfiguracji dla calego ukladu wynosi wtedy

           (9)

gdzie iloczyn obejmuje wszystkie mozliwe stany jednoczastkowe o roznych dopuszczalnych wartosciach energii. Znaczenie wzoru (8) staje sie jasniejsze jak spojrzymy na Rys. 1, gdzie nastepuje mieszanie sie czastek i przegrod (stanow). Poszczegolne stany o tej wartosci energii sa wiec "komorkami" dla czastek.

Rysunek 1.   Rozklad czastek po g_i stanach (komorkach) o tej samej energii Î_i. Poszczegolne stany sa przedstawione jako przegrody dla czastek. Okolicznosc, ze mozemy te przegrody wstawic w dowolne miejsca rozdzielajac n_i czastek jest wyrazem nierozroznialnosci czastek wynikajacej z ich natury kwantowej.

Za Boltzmannem uznajemy, ze stan rownowagi termodynamicznej to stan o maksymalnej liczbie konfiguracji W = W_max (czyli stan najbardziej prawdopodobny) przy zadanej energii E = S_i Î_i  n_i. Ze wzgledu na to, ze wygodniej jest optymalizowac wielkosc addytywna (ktora okazala sie byc entropia ukladu) funkcjonal, ktory maksymalizujemy przy zadanym E ma postac

.            (10)

Stala proporcjonalnosci przy ln W nazwal Planck stala Boltzmanna, a jej wartosc wynosi k_B = 1.380658 x 10^-23 [J/K]. Natomiast zakladajac, ze zarowno g_i, jak i n_i sa duzymi liczbami (>> 1) mozemy warunek konieczny na maksimum F{n_i} zapisac w postaci rozniczkowej ¶ F/¶ n_i = 0. Prowadzi to do nastepujacego wyrazenia na wartosc najbardziej prawdopodobna   (przy zalozeniu przyblizenia Stirlinga dla silni ln x! »  x (ln x - 1))

.            (11)

Porownujac to wyrazenie z tym w przypadku klasycznym (wzor Boltzmanna) dla wysoko-energetycznych stanow (Î_i ®  ¥) oraz definiujac potencjal chemiczny jako a ₀ = m / (k_BT), gdzie T jest temperatura bezwzgledna, otrzymamy ten rozklad w postaci jawnej

           (12)

Wzor (5) po wzieciu pod uwage, ze rozklad energii jest ciagly tj. Î_i®  Î  = hw, natomiast ® n(w) = f(w) g(w), gdzie

.            (13)

Wzor (13) stanowi zatem modyfikacje wzoru Boltzmanna (5) i uzyskalismy go, podkreslamy raz jeszcze, przez pomieszanie przegrod z czastkami, wyrazajac w ten sposob nasza niewiedze, iz nie jestesmy w stanie powiedziec, w ktorym stanie jest foton, gdy ma ich dostepnych g_i przy zadanej czestosci w_i. Taka zasade zliczania rozdzialu czastek po stanach o tej samej energii nazwalismy zasada nierozroznialnosci. Ponadto zalozylismy, ze potencjalnie liczba fotonow (kwantow swietlnych) w stanie o energii Î_i = ħw_i moze byc dowolna, tj. n_i = 0, 1, 2, ... . Skonczona jest natomiast liczba okreslajaca najbardziej prawdopodobna liczbe fotonow o czestosci w_i w ukladzie o temperaturze T. Taka sytuacja odzwierciedla fakt, ze liczba fotonow emitowanych i absorbowanych moze sie zmieniac (ich liczba nie jest zachowana), a liczba fotonow wedlug wzoru (2) opisuje w przyblizeniu srednia liczbe fotonow w ukladzie w sytuacji, gdy srednia energia termiczna jaka posiada uklad jest okreslona przez temperature scian materialnych naczynia.

Po takim przygotowaniu formalnym jestesmy w stanie przeanalizowac pokrotce oryginalne podejscie Natansona. Bede tutaj poslugiwal sie Jego podrecznikiem z 1912 roku na temat teorii promieniowania [5].

Wladyslaw Natanson.
Z plakatu wystawy pt. ...mial wzrok zwrocony ku horyzontom dalekim...
poswieconej Wladyslawowi Natansonowi, PAU, Krakow 2004.

3.     Oryginalne podejscie Natansona :   szczegoly ilosciowe

W poprzednim punkcie otrzymalismy wartosc najbardziej prawdopodobnej liczby obsadzen   dla czastek przy dostepnych g_i stanach o zadanej wartosci energii czastki Î_i. Innymi slowy, otrzymalismy wartosci /g_i prawdopodobienstwa obsadzenia poziomu energetycznego Î_i, ktore mozemy nazwac prawdopodobienstwem lokalnym, bo dotyczy obsadzenia pojedynczej "komorki" (stanu) i-tego.

3. 1.     Liczba fotonow na atom (stan)

Inaczej do obliczenia     podszedl Natanson. Po pierwsze, autor zamiast mowic o "komorkach" (czyli o liczbie g_i dostepnych stanow kwantowych) mowi o "atomach materyi", z ktorych kazdy moze zawierac n_i = 0, 1, 2, ..., p kwantow o energii Î_i = e = ħw   (jest to niepoprawne zalozenie, ale pamietajmy, ze to rok 1911 i teoria Bohra budowy atomu jeszcze nie powstala !). Natomiast Natanson definiuje liczbe N_i atomow (powinno byc stanow) zawierajacych i fotonow o zadanej czestosci. Zatem N_i opisuje liczbe atomow z zaabsorbowanymi i kwantami. Oprocz tego, wprowadza liczbe n_I jako liczbe kwantow w atomie I-tym.

Natanson nastepnie wprowadza liczbe konfiguracji, ktore nazwalibysmy globalnymi. A mianowicie, uwaza, ze "atomy materyi" absorbujace i emitujace kwanty sa rozroznialne i w zwiazku z tym liczba fizycznie nierownowaznych konfiguracji atomow wyraza sie jako

.            (14)

Dodatkowo, liczba rozkladow wspolnych dla N atomow i n kwantow (fotonow), gdy fotony sa nierozroznialne wynosi

.            (15)

Symbol S U oznacza tu sume konfiguracji rozmieszczen atomow z n fotonami oraz n fotonow pomiedzy atomami. Zauwazmy od razu, ze wzor powyzszy ma taka sama postac jak wzor (8). Jednakze tam zamiast calkowitej liczby atomow mamy liczbe stanow g_i o zadanej energii Î_i. Podobnie z n_i. Zatem n obecnie musi odgrywac role sredniej liczby fotonow w ukladzie (czy tez wartosci najbardziej prawdopodobnej). Widac teraz dlaczego podejscie obecne jest podejsciem globalnym, w ktorym zadane sa dwie liczby:

           (16)

.            (17)

Nastepnie wprowadzamy prawdopodobienstwo P rozwazanego rozdzialu energii. W tym celu definiujemy wielkosc

.            (18)

To prawdopodobienstwo opisuje typowa konfiguracje z n fotonami w ukladzie. Przyjmuje ono wartosc maksymalna przy zadanym n oraz N, gdy iloczyn     przyjmuje wartosc minimalna. Stad tez, caly problem sprowadza sie do znalezienia minimum warunkowego wyrazenia

           (19)

gdzie podobnie jak poprzednio (por. (10)) wzielismy logarytm minimalizowanej funkcji, a wielkosci U oraz V sa parametrami (mnoznikami Lagrange'a). Podobnie jak poprzednio, stosujemy formule Stirlinga do pierwszego wyrazu, a takze uwazamy N_i na tyle duze, ze mozemy szukac minimum F wzgledem zmiennych {N_i} jako argumentu ciaglego. Wtedy, warunek ¶ F/¶ N_i = 0 prowadzi do zwiazku

.            (20)

Parametr U jest okreslony przez przepisanie tego rownania dla i = 0, co prowadzi do zaleznosci

U = –ln N₀ .            (21)

Natomiast, definiujac V w postaci

V = –ln x            (22)

otrzymujemy rozwiazanie rownania (20) w postaci

N_i = N₀ xⁱ .            (23)

Zauwazmy, ze wielkosc x jest nadal nieokreslona (takze N₀), ale przy normalnym rozkladzie nalezy oczekiwac, ze 0 <x <1. Ale ta relacja pozwala nam przepisac rownania (16) oraz (17) w nastepujacy sposob, odpowiednio:

N₀ + N₀ x + N₀ x² + ...+ N₀ x^p  =  N            (24)

N₀ x + 2 N₀ x² + ... + pN₀ x^p = n            (25)

Uklad tych rownan zostaje sprowadzony do jednego przez wprowadzenie, jak sie okazuje dopiero teraz, fundamentalnej wielkosci

,            (26)

a mianowicie, dzielac wielomian (25) przez (24) przy zalozeniu, ze N₀ ¹  0, otrzymamy rownanie

f(x) = (p – Q) x^p – (p – 1 – Q) x^p–1 + ... + (1 – Q) x – Q = 0            (27)

Rownanie to jest rownaniem na wielkosc x przy zadanym p oraz Q. W swietle tego co wiemy obecnie, zalozenie, ze p < ¥ moze sie wydawac nieuzasadnione, ale skomentujemy to w sensie pozytywnym w nastepnym punkcie. Na razie, przeanalizujemy rozwiazania Natansona, aby problem zostal domkniety.

W tym momencie zaczyna sie rozumowanie fizyczne Natansona, gdyz charakter rozwiazania zalezy od stosunku q = n/N, ktory powinien byc wielkoscia wyjsciowa teorii. Wiedzac, z twierdzen "przypisywanych Harriotowi badz Kartezyuszowi", ze poniewaz f(0) < 0, a f(1) > 0, rownanie (27) moze miec tylko jeden pierwiastek x > 0. Problem w tym, jaka jest wartosc Q: Q << 1, czy Q >> 1 ? Skracajac dywagacje autora mozemy powiedziec, ze oczywiscie dla temperatury niskiej (T®  0) Q << 1, natomiast w obszarze klasycznym z pewnoscia mamy Q ³  1, jesli nie Q >> 1, gdyz wtedy T®  ¥ i liczba fotonow zawartych w szumie termicznym moze byc dowolnie duza.

3. 2.     Entropia gazu fotonow w obszarze kwantowym i rozklad statystyczny

Niestety linia dotychczasowego rozumowania sie zalamuje i zeby wyciagnac wnioski z (27) wprowadzamy dodatkowy skladnik. A mianowicie, autor zauwazyl, ze entropia takiego gazu fotonow przy zadanej liczbie N atomow ma postac na podstawie rownania (15) i uwzglednieniu formuly Stirlinga

S = k_B ln [N (ln N – 1) - S  N_i ( ln N_i – 1 )].            (28)

Natanson wprowadza w formule (28) dodatkowa stala, ktora ignorujemy, bo gaz kwantowy winien miec entropie zero, gdy nie ma kwantow (zob. ponizej, gdzie wypiszemy ten wzor w bardziej odpowiedniej postaci). Biorac pod uwage, ze N_i = N₀ xⁱ, otrzymamy

S = k_B { N ln N – N ln N₀ – n ln x } .            (29)

W tym momencie Natanson robi zasadnicze przyblizenie, a mianowicie uwaza, ze popelniony jest maly blad jesli zalozymy, ze

           (30)

gdyz uwazamy, ze Q << 1 (granica kwantowa). Wtedy otrzymujemy nastepujacy wzor na entropie

S = k_B { (n+N) ln (n+N) – n ln n - N ln N } .            (31)

Latwo to wyrazenie doprowadzic do postaci

S = k_B N [ (1+f) ln (1+f) – f ln f ]            (32)

gdzie

.            (33)

Jest to entropia gazu n fotonow rozmieszczonych w N atomach. W stanie rownowagi, z definicji termodynamicznej temperatury mamy

.            (34)

Uwazajac, ze dla kazdej czestosci promieniowania mamy stan rownowagi mozna przyjac, ze dla zadanej energii (czestosci w) E = n e º nħw i wobec tego

           (35)

a stad otrzymamy

.            (36)

Jest to poszukiwany wzor na rozklad statystyczny fotonow. To rozwiazanie, otrzymane w granicy n/N << 1, prowadzi do rozkladu Boltzmanna w granicy ħw/k_BT >> 1. Zatem, nalezy oczekiwac, iz ten wzor wyprowadzony przez Natansona ma charakter ogolny mimo jego wyprowadzenia w szczegolnych warunkach. Tak jest istotnie, z czego chyba Natanson nie zdawal sobie sprawy (a szkoda !).

Widzimy zatem, ze dla domkniecia teorii nalezy sie posluzyc tylko zwiazkiem N_i = N₀ xⁱ oraz wyrazeniem dla entropii gazu fotonow. Autor niniejszego opracowania zdaje sobie sprawe z dluzyzny obecnego argumentu. Biorac jednak pod uwage okolicznosc, iz jest to prawdopodobnie pierwsze, a byc moze jedyne opracowanie teorii fotonow wedlug Natansona, uwaza za usprawiedliwione podanie go w szczegolach. W nastepnym punkcie omowimy krotko jakosciowo (krytycznie) to podejscie, tak by ewentualny historyk nauki mogl sie odniesc tylko w skrocie do podejscia Natansona.

3. 3.     Rozklad Plancka

Rozklad (36) zwany obecnie rozkladem Bosego-Einsteina zostal zaproponowany przez Plancka na podstawie zalozenia, ze absorpcja lub emisja promieniowania o zadanej czestosci dokonuje sie skokami, tj. energia takich procesow wynosi E_i = iħw. Einstein (1906) dopowiedzial, ze latwo sobie wyobrazic takie procesy absorpcji i emisji paczkami ħw, gdyz samo promieniowanie elektromagnetyczne widocznie sklada sie z czastek, fotonow, o energii ħw, a energia fali elektromagnetycznej o zadanej czestosci zawiera z reguly wiele takich kwantow. Hipoteza Einsteina znalazla piekne potwierdzenie w wytlumaczeniu efektu fotoelektrycznego, ale takze pozniej w interpretacji efektu Comptona i wielu innych eksperymentach. Oczywiscie, nie bylo wiadomo (i dalej nie wiemy !) jak dokladniej zwiazac te fotony jako czastki z falami elektromagnetycznymi; postulujemy jedynie interpretacje statystyczna Borna jako probabilistyczna interpretacje formalizmu falowego w jezyku czastek.

Zostawiajac jednak z boku cala te dyskusje, nie rozwiazana do dzis, chcemy przy pomocy wzoru (36), zinterpretowanego jako rozklad najbardziej prawdopodobny, znalezc wzor na srednia energie U(w) dw zawarta w promieniowaniu o przedziale czestosci [w, w + dw]. Tutaj korzystamy z wzoru (3):

           (37)

gdzie r(w) jest gestoscia stanow (4) czyli liczba fal swietlnych na jednostkowy przedzial czestosci, f(w) = [exp(ħw/k_BT) – 1]^-1 jest prawdopodobienstwem obsadzenia fotonem o tej energii przypadajacym na stan (na "atom" w jezyku Natansona). Zauwazmy, ze Natanson naprawde interpretuje wszystko w stylu Plancka (a nie Einsteina): w naczyniu (wnece) propaguja sie fale (stad r(w) w jezyku falowym); natomiast f(w) jest zadane w jezyku czastkowym dla materialu. To samo f(w) nalezy stosowac do materialu tworzacego naczynie dla fal, jak i do fal, poniewaz sa one wzgledem siebie w rownowadze.

Jest zadziwiajacym, ze tak skomplikowane etapy rozumowania dowiodly Natansona do tak prostego wyniku. Najprawdopodobniej nie byloby to mozliwe, gdyby autor nie znal z gory wyniku, ktory chce otrzymac, tj. wzoru na rozklad Plancka. Jednakze, Natanson uzyl po raz pierwszy fundamentalnej zasady, znajdujacej swe odzwierciedlenie we wzorze (15); jest nia nierozroznialnosc fotonow, co przedyskutujemy w nastepnym punkcie.

4.     Podejscie Natansona: omowienie jakosciowe

Przypuszczam, ze Czytelnik nie bedzie sie chcial wglebiac w detale argumentu ilosciowego podanego w punktach 2 oraz 3. Wobec tego omowimy tutaj (i skrytykujemy) glowne cechy podejscia Natansona.

Niewatpliwie, istnieje roznica pomiedzy podejsciem Bosego i Natansona do wyprowadzenia wzoru Plancka. Natanson uzyl tutaj jako "komorki" absorbujacej lub emitujacej foton po prostu atom. Bose mowi juz o stanach ("modach") samego promieniowania, co jest bardziej prawidlowe ze wspolczesnego punktu widzenia. Jednakze, nie ma to znaczenia w ilosciowej analizie, gdy tylko zastapimy slowo "atom materyi" Natansona odpowiednia czestoscia drgan dopuszczalna w naczyniu (we wnece zawierajacej promieniowanie). W ten sposob, rozklad promieniowania jest okreslone przez nie same bedace w rownowadze ze scianami materialnymi naczynia. Takie podejscie jest poprawne i upraszcza analize niezmiernie, pod warunkiem, ze przyjmuje sie zasade nierozroznialnosci fotonow wprowadzona wlasnie przez Natansona co najmniej 12 lat wczesniej, co jest glownym powodem do Jego chwaly.

Nierozroznialnosc czastek objawia sie tutaj po raz pierwszy jako to, ze nie wiemy, ktore fotony sa w zadanym atomie. Natanson napisal o tym fakcie bardzo obrazowo (por. [5], str. 55-56):

"Rozwazalismy przed chwila rozdzialy (rozklady – przyp. J.S.) energii. Gdy o nich mowimy, nie jestesmy obowiazani przypuszczac z tego tytulu, ze mozemy rozpoznawac atomy albo jednostki energii (kwanty zaabsorbowane przez te atomy - przyp. J.S.). Jezeli chcemy wyznaczyc pewien rozdzial energii, powinnismy podac liczbe atomow, ktore uzyskuja (kazdy) pewna wiadoma liczbe jednostek energii; ale w tym celu nie potrzeba nam wiedziec, ktore mianowicie atomy otrzymaly te liczbe. Inaczej maja sie rzeczy, gdy zajmujemy sie rozkladami energii (na poszczegolne atomy – przyp. J.S.). Nie moglibysmy okreslic pojecia rozkladu, gdybysmy nie przypuszczali implicite w okresleniu, ze mozemy odrozniac atomy, ze potrafimy przekonac sie o tem, z ktorym atomem mamy do czynienia. Takie zalozenie zawiera sie w samem pojeciu rozkladu. Co do jednostek energii zawiera sie w niem jednak zalozenie przeciwne. Tworzac rozklady, postepujemy tak, jak gdybysmy nie umieli stwierdzic tozsamosci jednostek".

Ten cytat mozemy skomentowac tylko nastepujaco: co za piekne wyrazenie slowne roznicy pomiedzy sposobem wyrazenia wzorem (18) liczby konfiguracji czastek nierozroznialnych z jednej strony, a wzorem (15) z drugiej dla rozroznialnych i niezaleznych statystycznie podukladow ! Innymi slowy, te wczesniejsze dwa wyrazaja nierozroznialnosc poszczegolnych fotonow ("nie wiadomo w ktorym atomie sa"), zas te drugie dwa operuja tylko rozroznialnymi liczbami konfiguracji, rozroznialnych komorek, atomow, czy stanow. Tak wiec, Natanson jest odkrywca fundamentalnej zasady nierozroznialnosci czastek kwantowych (fotonow) (calkiem nietrywialna koncepcja nawet dzisiaj  !). Mozna nawet zaryzykowac stwierdzenie, ze zauwazyl jego glebie w odroznieniu od Bosego, ktory go explicite nie wyodrebnil i w zwiazku z tym jego praca byla w wiekszym stopniu heurystyczna (w tym samym stylu, co heurystyka Plancka przy wprowadzeniu kwantow energii hn).

Poza tym, zarowno Natanson, jak i Bose, przyjmuja hipoteze Plancka kwantow energii (Î  = hn  = ħw) bez dyskusji.

Rysunek 2.   Strona monografii [5] z jawnym wyrazeniem na rozklad statystyczny dla liczby fotonow n o energii e=hw przy N dostepnych stanach (funkcja wykladnicza ma symbol e). Zauwazmy takze wzor (3) na entropie bozonow o zadanej energii hw (wynik dla calkowitej entropii jest podany jako rownanie (32) w obecnej pracy).

5.     Konkluzje

Zatem, czy na pytanie postawione w tytule odpowiedz jest twierdzaca ? Moim zdaniem, TAK ! Niestety, taki stan rzeczy ma juz tylko znaczenie historyczne. Nie pierwszy to raz, kiedy izolacja lokalnego srodowiska od swiata, a przede wszystkim publikowanie w malo znanych czasopismach naukowych prowadzi do zapomnienia. Szkoda. Dzis przynajmniej mamy strony internetowe do propagacji swoich idei, nawet kontrowersyjnych.

Ciekawa jest takze okolicznosc, ze Natanson nie probowal zabrac glosu na temat swoich prac juz po publikacjach Bosego i Einsteina. Byc moze wynikalo to z jego zajecia sie bardziej popularyzacja w pozniejszych latach zycia. Nie potrafie na to pytanie odpowiedziec inaczej.

6.     Podziekowanie

Chcialbym wyrazic wdziecznosc Profesorowi Bronislawowi Sredniawie za zwrocenie uwagi na potrzebe szerszego omowienia tego aspektu fundamentalnego prac Natansona (por. takze Ref. [6]), a takze Profesorom Adamowi Strzalkowskiemu i Andrzejowi Fulinskiemu za zachete do wygloszenia referatu na ten temat. Autor dziekuje takze Fundacji na Rzecz Nauki Polskiej za finansowe wsparcie niezaleznych badan.

2004

7.     Bibliografia

1. L. Natanson, "On statistical theory of radiation", Extraits du Bulletin de l'Academie des Sciences de Cracovie, Série A, pp. 134-148 (1911); tam¿e, wersja niemiecka: Physikalische Zeitschrift 12, 659-666 (1911).
2. S. N. Bose, Z. Phys. 26, 178 (1924).
3. M. Planck, Verh. Deutsch. Phys. Ges. 2, 237 (1900); Ann. Phys. 4, 553 (1901); zob. takze artykul popularny na stulecie wzoru i stalej Plancka: A. Kiejna, Postepy Fizyki 51, 294-302 (2000).
5. Patrz np. L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Statistical physics, 3-rd Edition, Part 1, §55, Pergamon Press, Oxford, 1986.
6. W. Natanson, Zasady teoryi promieniowania, Wydawnictwo Redakcji Prac Matematyczno-Fizycznych, Warszawa, 1912.
7. B. Sredniawa, Zlota Ksiega Wydzialu Matematyki i Fizyki, pod redakcja B. Szafirskiego, str. 454-5, Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiellonskiego, Krakow, 2000.

---

Prof. Dr Jozef Spalek, ur. 1946, studia fizyczne w UJ; doktorat w 1974 (AGH); habilitacja w 1981 (UJ); profesura w 1991 (UW); od 1993 r. z powrotem w Instytucie Fizyki UJ. Kierownik Zakladu Teorii Materii Skondensowanej Instytutu Fizyki im. Mariana Smoluchowskiego Uniwersytetu Jagiellonskiego, stypendysta Fundacji na Rzecz Rozwoju Nauki Polskiej (subsydium profesorskie na lata 2003-2006). Autor ponad 200 prac naukowych. Zajmuje sie ukladami silnie skorelowanych fermionow, w tym nadprzewodnictwem wysokotemperaturowym oraz kwantowymi przemianami fazowymi i kwantowymi zjawiskami krytycznymi. Wypromowal 10 doktorow w kraju i 3 zagranica.

Copyright © 1997-2005 Zwoje