FLUKTUACJE WOKOL NAS
Dziedzictwo Mariana Smoluchowskiego
PAWEL F. GORA
Zyjemy w swiecie, w ktorym wszystko wokol nas nieustannie zmienia sie i fluktuuje. Gdybysmy mogli zobaczyc nasze otoczenie w skali molekularnej, przekonalibysmy sie, ze wszystko, poczawszy od czasteczek powietrza i wody, az po atomy w twardym kawalku metalu, podlega bezustannemu ruchowi, mimo iz obiekty zbudowane z tych atomow i czasteczek pozostaja jako calosc w stanie rownowagi. Obserwacja ta, stanowiaca obecnie kanon wiedzy naukowej, niecale sto lat temu uchodzila za idee nowa i prowokacyjna.
Wszystko zaczelo sie w roku 1827, kiedy to szkocki botanik Robert Brown po raz pierwszy zaobserwowal gwaltowne, zygzakowate ruchy drobnych czasteczek (pylkow roslinnych) w zawiesinie wodnej. Odkrycie to nie spotkalo sie zrazu z wielkim zainteresowaniem i pozostawalo niewyjasnione az do poczatkow XX wieku, kiedy to zainteresowali sie nim fizycy. Wowczas to Albert Einstein [1] i, pracujacy niezaleznie od Einsteina Marian Smoluchowski [2], stwierdzili, iz ruchy Browna sa wynikiem niezliczonych zderzen z czasteczkami wody. Einstein i Smoluchowski sformulowali tez model matematyczny opisujacy to zjawisko. Badania te staly sie podstawa czegos, co z czasem mialo rozwinac sie w teorie procesow stochastycznych; w tym wiec sensie ilekroc uzywamy podejscia stochastycznego do opisu rozmaitych zjawisk, tylekroc korzystamy z dziedzictwa Mariana Smoluchowskiego. Prace Einsteina i Smoluchowskiego stanowia takze podwaliny nowoczesnej fizyki statystycznej, w ktorej cieplo utozsamiane jest z przekazem energii w postaci bezladnych ruchow molekularnych, temperatura zas jest, mowiac niezbyt precyzyjnie, ilosciowa miara intensywnosci tych ruchow. Przewidywania Einsteina i Smoluchowskiego zostaly pozniej potwierdzone doswiadczalnie przez Jean-Baptiste Perrin'a [3], ktory za swe prace otrzymal nagrode Nobla w roku 1926; Albert Einstein otrzymal byl nagrode Nobla juz w 1921. Marian Smoluchowski zmarl wczesniej, w roku 1917 w Krakowie na dyzenterie.
Stalo sie jasne, ze na poziomie molekularnym cala materia bezustannie i gwaltownie sie porusza. Nawet jesli uklad makroskopowy pozostaje w stanie rownowagi, jego czasteczki skladowe fluktuuja wokol swoich polozen rownowagi. Einstein i Smoluchowski udowodnili, ze makroskopowe tarcie jest scisle zwiazane z natezeniem fluktuacji mikroskopowych. Zrozumiano, iz sama obecnosc szumu termicznego, czy tez fluktuacji termicznych, stanowi powod dysypacji energii, kretu i innych wielkosci. Szumy odpowiadaja takze za pogorszenie sie jakosci a nawet utrate sygnalow przekazywanych poprzez rozne media. Ten ostatni aspekt byl i nadal jest szczegolnie wazny z uwagi na rosnace zapotrzebowanie na komunikacje bezprzewodowa i elektroniczna, kodowanie sygnalow, kryptografie i cyfrowa obrobke obrazow i dzwiekow. Ludzkosc wklada wielki wysilek, tak w sensie prowadzonych badan naukowych, jak i projektowania specjalistycznych urzadzen i programow komputerowych, we wzmacnianie sygnalow i odfiltrowywanie wszechobecnego szumu. Szumy, czyli fluktuacje termiczne, sa uwazane w tym kontekscie za rzecz nieunikniona i "zla".
Okazuje sie jednak, ze w innych sytuacjach szum nie jest az tak zly.
Szybko zdano sobie sprawe, ze fluktuacje termiczne graja pozytywna role w co najmniej jednym waznym procesie: ucieczka ze stanow metastabilnych lub lokalnie stabilnych moze odbywac sie tylko poprzez skoki wywolywane przez szum. Dzielo, zapoczatkowane pionierskimi pracami Einsteina i Smoluchowskiego, podjelo wielu nastepcow, matematykow i fizykow, zbyt licznych, aby ich tutaj wymieniac. Doglebne zrozumienie procesu ucieczki jako reakcji umozliwianej przez fluktuacje przyszlo w koncu wraz ze slynna praca Hendrika Antoine Kramers'a [4], ktora zapoczatkowala nowoczesna teorie szybkosci reakcji. Wspolczesne zastosowania tej teorii w kinetyce chemicznej, teorii dyfuzji w cialach stalych, jednorodnej nukleacji, transporcie w ukladach elektrycznych i teorii przekraczania bariery potencjalu dzieki fluktuacjom, takze wywodza sie z prac Einsteina i Smoluchowskiego. Pierwsze piecdziesiat lat teorii szybkosci reakcji zostalo podsumowane w znakomitym artykule przegladowym przez Hänggi'ego, Talkner'a i Borkovec'a [5].
Innym wybitnym osiagnieciem Smoluchowskiego byla analiza drugiej zasady termodynamiki, w szczegolnosci zas "mechanicznego demona Maxwella" [6]. Wyobrazmy sobie kolko zebate z zapadka blokujaca kolko w ten sposob, ze moze sie ono obracac tylko w jedna strone. Teraz do kolka zebatego doczepmy skrzydla wiatraka, zanurzone w gazie w stanie rownowagi termicznej. Od czasu do czasu sekwencja zderzen czasteczek gazu ze skrzydlami wiatraka spowoduje, iz kolko obroci sie o jeden zab w dozwolonym kierunku, spodziewamy sie jednak, ze nigdy nie obroci sie w strone przeciwna. Moze sie wydawac, ze w ten oto sposob szum termiczny mozna przeksztalcic w prace uzyteczna, co stanowiloby jaskrawe naruszenie drugiej zasady termodynamiki. Smoluchowski uswiadomil sobie, ze aby kolko zebate i zapadka w ogole odczuly fluktuacje termiczne gazu, same musza byc rozmiarow mikroskopowych, a zatem same musza podlegac fluktuacjom termicznym, umozliwiajac kolku obrot w "zabroniona" strone. Dokladna analiza tego zjawiska pokazuje, ze o ile prawdziwie gigantyczna fluktuacja bylaby w stanie obrocic kolko o zauwazalny kat, czas oczekiwania na taka fluktuacje w jakimkolwiek ukladzie makroskopowym jest wiekszy od calego czasu zycia Wszechswiata. Smoluchowski udowodnil, ze druga zasada termodynamiki, zastosowana do jakiegokolwiek ukladu makroskopowego lecz skonczonego, ma jedynie charakter statystyczny, nie zas absolutny. Perpetuum mobile drugiego rodzaju moze byc potencjalnie zrealizowane, ale prawdopodobienstwo jego realizacji jest tak niewiarygodnie male, ze proces ten jest praktycznie niemozliwy.
Omowiony wyzej mechanizm zostal powtornie odkryty i spopularyzowany przez Richarda Feynmana [7]. Co ciekawe, piekny i prosty pomysl lezacy u podstaw tego systemu wciaz budzi zainteresowanie fizykow [8]. Co jeszcze ciekawsze, pomysl ten znalazl zastosowania w dziedzinie bardzo odleglej, zdawaloby sie, od fizyki statystycznej, a mianowicie w biochemii molekularnej. Kluczowa cecha kolka zebatego w tym mechanizmie jest asymetria: moze sie ono obracac tylko w jedna strone. Rozprostujmy nasze kolo zebate, a otrzymamy okresowy potencjal piloksztaltny bez symetrii zwierciadlanej: zbocza zebow pily maja rozne nachylenia, jedno jest nachylone bardziej niz drugie. Umiescmy w takim potencjale czasteczke, poddajmy ja dzialaniu zewnetrznej, okresowej sily wymuszajacej oraz fluktuacjom termicznym, a otrzymamy cos, co znane jest jako "zebatka brownowska" [9]. Zdumiewajaca cecha tego ukladu jest to, ze choc srednia sila dzialajaca na czasteczke rowna sie zero, przy pewnych warunkach w ukladzie tym moze wystapic makroskopowy transport. Jeszcze bardziej zdumiewajace jest to, ze jak sie wydaje, natura postanowila realizowac wiele reakcji biochemicznych niezbednych dla samego naszego biologicznego istnienia wlasnie w oparciu o mechanizm zebatki brownowskiej [10]. Stochastyczny transport wystepujacy w zebatkach brownowskich jest bardzo waznym elementem wielu naturalnych motorow molekularnych [11].
Sztuczne motory molekularne, czyli urzadzenia pracujace na prawdziwie molekularnym poziomie – powiedzmy usuwajace skrzep grozacy zablokowaniem naczynia krwionosnego, co moze prowadzic do udaru mozgu lub zawalu serca — wciaz pozostaja jedynie marzeniem naukowcow i tematem pisarzy science fiction. Jednak bardzo niewiele osob, a juz na pewno nie owi pisarze, zdaje sobie sprawe, iz motory rozmiarow molekularnych podlegac beda wplywom pochodzacym od fluktuacji termicznych innych czasteczek, glownie wody. Aby sprowadzic rzecz do proporcji znanych z zycia codziennego, uswiadommy sobie, iz projektowanie motorow molekularnych bedzie podobne do projektowania urzadzen rozmiarow "ludzkich", majacych pracowac w trakcie najstraszliwszego huraganu. Specjalisci sa juz dzisiaj zgodni, ze sztuczne motory molekularne beda dzialac w oparciu o zasade zebatki brownowskiej, wyciagac co dobre z ruchow Browna, jakim podlegaja czasteczki otoczenia. Jak ujal to Dean Astumian w swoim artykule przegladowym [12], Jesli nie mozna pokonac chaosu, dlaczegoz go nie wykorzystac?.
Bardzo zdolni eksperymentatorzy sa dzisiaj w stanie "zbudowac" czasteczki wykonujace ukierunkowany ruch, ale prawdziwe maszyny molekularne sa jeszcze wciaz daleko przed nami. Uczeni potrafia jednak konstruowac sztuczne zebatki brownowskie operujace na duzych czasteczkach biologicznych w warunkach laboratoryjnych. Urzadzenia takie sa dzis rutynowo wykorzystywane na przyklad do segregacji DNA w procesie elektroforezy.
Stwierdzilismy zatem, iz fluktuacje termiczne w zebatkach brownowskich odgrywaja konstruktywna role. Zjawisko to jest blisko zwiazane z tak zwanym rezonansem stochastycznym, po raz pierwszy zaproponowanym w pracy [13] dla wyjasnienia okresowego wystepowania epok lodowcowych na Ziemi (zobacz takze artykul przegladowy [14]. )
Rezonans stochastyczny to przyklad zjawiska, w ktorym odpowiedz ukladu dynamicznego na zewnetrzny sygnal osiaga optimum w obecnosci szumu o pewnym konkretnym natezeniu. Szum moze niekiedy poprawic, nie zas wylacznie pogorszyc wlasnosci niektorych urzadzen. Obecnie powszechnie uwaza sie, ze poza reakcjami aktywowanymi termicznie (teoria Kramersa), motorami molekularnymi i rezonansem stochastycznym, jest wiele innych sytuacji, zbyt licznych aby je tutaj wymieniac, w ktorych fluktuacje termiczne odgrywaja konstruktywna role.
Marian Smoluchowski poswiecil sie takze badaniu fluktuacji pewnego innego, bardzo specyficznego typu: fluktuacji krytycznych. Smoluchowski w pracy [15] pokazal, iz gestosc kazdej cieczy rzeczywistej nie jest stala, lecz fluktuuje na obszarach porownywalnych z dlugoscia fali swiatla widzialnego. Prowadzi to do znacznego rozpraszania swiatla nawet przez najlepiej oczyszczone plyny. (Nawiasem mowiac, obserwacja ta tlumaczy obserwowany blekitny kolor nieba.) Rozpraszanie staje sie tym silniejsze, im bardziej zblizamy sie do punktu krytycznego ciecz–gaz. W obszarze krytycznym rozpraszanie swiatla jest tak spektakularne, iz otrzymalo nazwe "opalescencji krytycznej". Zainspirowani wynikami osiagnietymi przez Smoluchowskiego Einstein [16], Ornstein i Zernike [17] i wielu innych podazylo jego sladem, doprowadzajac z czasem do powstania teorii zjawisk krytycznych i grupy renormalizacji (ksiazka Binney'a i innych [18] przedstawia nowoczesny wstep do tych zagadnien). W punkcie krytycznym fluktuacje sa tak wielkie, ze obejmuja caly uklad. Idea, ze wszystkie czesci skladowe systemu moga w punkcie krytycznym wplywac wzajemnie na siebie, doprowadzila takze do koncepcji samoorganizujacych sie ukladow krytycznych [19], [20], uzywanych obecnie do modelowania szerokiej gamy zjawisk fizycznych, biologicznych i spolecznych. Jak zatem widzimy, spuscizna Smoluchowskiego i pojecie fluktuacji sa uzyteczne w zrozumieniu dzialania tak bardzo rozmaitych systemow.
Fluktuacje sa wszedzie czy tez, innymi slowy, prawie
wszystko fluktuuje. Niekiedy szum (fluktuacje) dziala destrukcyjnie – co
znamy az nadto dobrze z naszego codziennego doswiadczenia, niekiedy jednak
jego dzialanie jest konstruktywne: szum destabilizuje lokalne polozenia rownowagi
umozliwiajac zajscie procesom w przeciwnym wypadku wykluczonym, wzmacnia
sygnaly podprogowe, powoduje transport w zebatkach brownowskich i wywoluje
wiele innych pozadanych zjawisk. Zaznaczyc trzeba, iz mowilismy tylko o
fluktuacjach termicznych, a wiec zachodzacych w poblizu polozenia rownowagi.
Fluktuacje w systemach dalekich od rownowagi maja swoje bardzo specyficzne
wlasnosci, omowienie ktorych wykracza poza zakres tego artykulu. Tytulem
ciekawostki wspomnijmy, ze fluktuacje sa odpowiedzialne za prace "przelacznikow
genetycznych" [21], zapewniajac tym samym lokalna stabilnosc gatunkow
biologicznych, jednoczesnie umozliwiajac ich ewolucje w dluzszej
perspektywie. A zatem fluktuacje byly takze niezbednym elementem procesu, ktory
z czasem doprowadzil do pojawienia sie czlowieka na tym najlepszym z
mozliwych swiatow.
Pawel F. Gora jest doktorem nauk fizycznych, pracownikiem naukowym w Zakladzie Fizyki Statystycznej Instytutu Fizyki im. Mariana Smoluchowskiego Uniwersytetu Jagiellonskiego.
- Referencje:
- A. Einstein, Ann. Phys. (Leipzig) 17, 549 (1905). (powrot)
- M. Smoluchowski, Ann. Phys. (Leipzig) 21, 756 (1906);
M. Smoluchowski, Bull. Acad. Cracovie, Classe des sciences mathèmatiques et naturelles, Serie A, 418 (1914);
M. Smoluchowski, Ann. Phys. (Leipzig) 48, 1103 (1915);
M. Smoluchowski, Z. Phys. Chem. (Leipzig) 92, 129 (1917).
Zobacz takze pozycje [6] i [14]. (powrot) - J. B. Perrin, Ann. Phys. (Leipzig), (1909). (powrot)
- H. A. Kramers, Physica 7, 284 (1940). (powrot)
- P. Hänggi, P. Talkner, and M. Borkovec, Rev. Mod. Phys. 62, 251 (1990). (powrot)
- M. Smoluchowski, Phys. Z. 13, 1069 (1912). (powrot)
- R. P. Feynman, R. B. Leighton, and M. Sands, The Feynman Lectures on Physics (Addison-Wesley, Reading, MA, 1966), vol. I, ch. 46. (powrot)
- C. Jarzynski and O. Mazonka, Phys. Rev. E 59, 6448 (1999). (powrot)
- Zobacz na przyklad:
M.O. Magnasco, Phys. Rev. Lett. 71, 1477 (1993);
A. Ajdari, D. Mukamel, L. Peliti, and J. Prost, J. Phys. I 4, 1551 (1994);
J. Luczka, R. Bartussek, and P. Hänggi, Europhys. Lett. 31, 431 (1995);
J. Luczka, T. Czernik, and P. Hänggi, Phys. Rev. E 56, 3968 (1997);
M. Kostur, and J. Luczka, Phys. Rev. E 63, 021101 (2001);
Jing-hui Li, J. Luczka, and P. Hänggi, Phys. Rev. E 64, 011113 (2001). (powrot) - D.-S. Liu, R.D. Astumian, and T.Y. Tsong, J.
Biol. Chem. 265, 7260 (1990);
T.D. Xie, P. Marszalek, Yi-der Chen, and T.Y. Tsong, Biophys. J. 67, 1247 (1994);
R.D. Astumian and M. Bier, Phys. Rev. Lett. 72, 1766 (1994);
T.D. Xie, Yi-der Chen, P. Marszalek, and T.Y. Tsong, Biophys. J. 72, 2496 (1997);
A. Fulinski, Phys. Rev. Lett. 79, 4926 (1997). (powrot) - F. Jülicher, A. Ajdari, and J. Prost, Rev. Mod. Phys. 69, 1269 (1997) i zamieszczone tam odnosniki. (powrot)
- R.D. Astumian, Sci. Am. July 2001, 57. (powrot)
- R. Benzi, A. Sutern, and A. Vulpiani, J. Phys. A 14, L453 (1981). (powrot)
- L. Gammaitoni, P. Hänggi, P. Jung, and F. Marchesoni, Rev. Mod. Phys. 70, 223 (1998). (powrot)
- M. Smoluchowski, Ann. Phys. (Leipzig) 25, 205 (1908). (powrot)
- A. Einstein, Ann. Phys. (Leipzig) 38, 1275 (1910). (powrot)
- L. F. Ornstein and F. Zernike, Proc. Acad. Sci. Amsterdam 17, 793 (1913–1914). (powrot)
- J.J. Binney, N.J. Dowrick, A.J. Fisher, and M.E.J. Newman, The Theory of Critical Phenomena (Oxford University Press, Oxford, 1992). (powrot)
- P. Bak, C. Tang, and K. Wiesenfeld, Phys. Rev. Lett. 59, 381 (1987); Phys. Rev. A 38, 364 (1988). (powrot)
- H. J. Jensen, Self-Organized Criticality (Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1998). (powrot)
- R. Metzler, Phys. Rev. Lett. 87, 068103 (2001) i zamieszczone tam odnosniki. (powrot)
