MATHEMATICS

THE NEW EYES OF SCIENCE

TOM BRZUSTOWSKI

Natural Sciences and Engineering Research Council of Canada

I want to share with you some observations and thoughts about mathematics, and I ask you to accept them as the observations of a sympathetic non-mathematician whose perspective is undoubtedly limited.

I feel that I'm seeing the emergence of a new applied mathematics.

From my experience as an engineer, the old applied mathematics went something like this: The behaviour of some particular form of matter under particular circumstances - call it a "phenomenon" - was described by a "law" expressed by an equation. The combination of such phenomena that was a useful representation of something real and interesting was described by a set of equations that had to be solved. There was little question that the equations were "right." It was also assumed that issues such as the existence of a solution had already been settled by somebody else; the goal was to see the details.

The research involved solving the - generally transient and nonlinear - partial differential equations with initial and boundary conditions that reflected the reality of the situation being described. If solutions previously developed for other problems could be cobbled together to provide the needed solution, so much the better. The mathematics might not be new, but the practical result was.

But sometimes something entirely new was needed, with little intuition to provide guidance. To help develop some feeling for the expected solution, clever people developed linearizations, limiting cases, quasi-steady approximations, etc., and the occasional closed-form solution of some related problem. A result of this kind was sometimes important enough to be called somebody's laws on its own. But the challenge was to get the solution to the full problem, in whatever way worked.

In a newer applied mathematics that I encountered in my own research, the difficulties had increased in two ways that seem to me fundamental: first, the laws describing the phenomena being described were incompletely known, even if the framework of equations in which they were imbedded was well established. Indeed such laws sometimes need to be formulated in a way that reflects the mathematical requirements of solving the governing equations more than the physics of the processes taking place. One example are the various laws of turbulence plugged into the Navier-Stokes equations that relate the long-time average values of various products of velocity fluctuations to the local mean velocity components. A closure condition for the whole set of equations often drives the formulation of the turbulent transport terms.

The second difficulty that I view as fundamental has to do with scale - many important problems involved interacting phenomena occurring on several scales, a feature that rules out the convenient use of similarity parameters.

The example that comes to my mind most readily has to do with the burning of gas blown out of what is known as a "flare stack" - a great big vertical pipe, for those outside of the oil and gas industry. The diameter of the stack provides one length scale and the mean velocity of the gas flowing out of provides one velocity scale. But there is always a wind blowing, and the wind speed provides another velocity scale. More than that, the average size of the turbulent gusts in the wind defines yet another length scale. So the bending over of the gas jet in the wind and the mixing of the gas with the flowing air is a problem with two length scales and two velocity scales. But flares are built to burn the escaping gas, and chemical reactions take place on yet a third scale - within a thin flame whose thickness is determined by the mean free path of molecules and the rate of the chemical reaction, with a corresponding velocity often called the "flame speed." That defines yet a third pair of scales, much smaller than either of the first two. And yet the momentum exchange, the mixing, and the combustion are all related. Such processes are now solved numerically, and the design of a useful grid is always a challenge.

Let me now generalize this: the new applied mathematics enables scientific prediction. I don't think there's anything very new in that statement, except for the fact that more in more fields are now aware of it. What is new, perhaps, is that in some fields, e.g.: high-speed aerodynamics, the prediction has largely replaced experiments - again in high-speed aerodynamics, the computational prediction of the details of the flow field around a wing or even a whole aircraft has replaced much wind-tunnel experimentation.

Let's put this in the context of what science does. It seems to me that science engages in two very different activities. One is establishing facts, the other is making predictions.

Facts are not easily established in science. They emerge by agreement of the scientific community from a sequence of experiments in which a hypothesis is tested, errors analyzed, experimental design improved, better experiments carried out, better results obtained, and so on. Sometimes the design of the experiment is changed radically as new theories and new experimental methods become available, but the sequence continues. It seems to me that there is a largely similar process in mathematics, with the large difference that the correctness of a mathematical proof can be verified without the inherent uncertainty of experimental science.

Scientific prediction is something entirely different. It is the output of a model, a construct that incorporates the relevant facts, an appropriate mathematical structure deriving from some theoretical basis, and the necessary algorithms. It is calibrated for the situation of interest, and should be validated whenever the results of controlled experiments become available. The model receives measurements and observations as input, and produces predictions of useful quantities that are expensive to measure or can't be measured at all.

Whether the output of the model is used to predict the stability of a building in an earthquake, or the population dynamics of an endangered fish species to determine appropriate fishing quotas, or the tax burden on the future workforce of the health care costs of their ancestors to guide tax policy, some form of applied mathematics is always at the heart of the process of making the prediction.

But there is more to the new applied mathematics that is different still, and I shall introduce it in a very different way so that it might not be limited by my own experience.

I shall say a few words about creativity.

My favourite definition of creativity is seeing what others have not seen, and making it visible. Michelangelo saw David in the block of marble; Kekulé dreamed about a serpent swallowing its tail and described the ring molecule of benzene, Einstein saw gravity in terms of curved surfaces in space-time, and Jeans saw a phase space of twice 6x10²³ dimensions in describing the motion of gas molecules in space.

That leads me to describe the new applied mathematics very boldly as the key to creativity in those fields of science where understanding is drowning in a flood of data - where new ways of seeing are required to break through human cognitive barriers to understanding in the face of the enormous amount of data produced by modern measurement techniques.

Bioinformatics is an obvious example, and one discussed the most. But think of the mathematics behind the explosively growing field of medical imaging. Think of the reams of data coming from satellites that observe the earth, think of the time series of stock prices, think of the millions of numbers produced from the computer models of the flow of air over aircraft wings, think of the spectra of millions of stars, and many, many other sources of vast amounts of data that need to be turned into information, and eventually knowledge.

The new applied mathematics helps scientists in all these fields see what the data mean. Sometimes the seeing is metaphorical, as in seeing new relationships - correlations to start with, then causal links - e.g.: inferring the existence of planets around distant stars from the wobble in the stellar motion, but sometimes the seeing will be much more physical - as in maps of the water temperature field in the Pacific that produces El Niño, or as in the real-time view of the human brain responding to stimuli.

I think I heard this first from Peter Borwein: "Mathematics is the language of high technology." Indeed it is, but I think it is also becoming the new eyes of science.

Thank you.

MATEMATYKA

NOWE OCZY NAUKI

TOM BRZUSTOWSKI

Natural Sciences and Engineering Research Council of Canada

Mam poczucie iż widzę wyłanianie się nowej matematyki stosowanej.

Z mojego doświadczenia jako inżyniera, dawna stosowana matematyka działała mniej więcej tak: Zachowanie się pewnych szczególnych form materii w szczególnych warunkach - nazwijmy to "zjawisko" - było opisane przez jakieś "prawo" wyrażone jakimś równaniem. Kombinacja takich zjawisk, która była użyteczną reprezentacją czegoś rzeczywistego i interesującego była opisana przez układ równań, które należało rozwiązać. Nie było kwestii, czy te równania były "poprawne." Zakładało się, że takie zagadnienia jak istnienie rozwiązania były już załatwione przez kogoś innego; celem było dostrzeżenie szczegółów.

Badania polegały na rozwiązywaniu - w ogólności przejściowych i nieliniowych - cząstkowych równań różniczkowych z takimi warunkami początkowymi i ograniczeniami, które odzwierciedlały opisywaną sytuację. Jeżeli rozwiązania rozwinięte poprzednio dla innych problemów mogły zostać ułożone razem w pewien "bruk", tak aby znaleźć rozwiązanie, to tym było o wiele lepiej. Matematyka mogła nie być nowa, ale praktyczny wynik był.

Ale czasem było potrzebne coś całkowicie nowego, a intuicji, będącej przewodnikiem, było niewiele. Aby ułatwić pewne wyczucie co do spodziewanych rozwiązań, sprytni ludzie wymyślili linearyzacje, przypadki graniczne, quasi-stabilne przybliżenia itd. oraz niekiedy rozwiązania w zamkniętej formie dla pewnych pokrewnych problemów. Tego rodzaju wynik był niekiedy na tyle ważny, by został sam nazwany czyimś prawem. Ale wyzwaniem było otrzymanie rozwiązania dla pełnego problemu, w jakikolwiek sposób, który by działał.

W nowszej matematyce stosowanej, którą napotkałem w moich własnych badaniach naukowych, trudności zwiększyły się w dwóch kierunkach, które mnie wydają się fundamentalne.

Po pierwsze, prawa opisujące zjawiska wchodzące w grę nie były znane w pełni, nawet jeżeli system równań, w których te prawa były zawarte, był dobrze ustalony. W rzeczywistości, niekiedy takie prawa muszą być sformułowane w sposób, który bardziej jest odbiciem wymagań rozwiązalności rządzących równań niż odbiciem fizyki zachodzącego procesu. Przykładem tego są różne prawa turbulencji, włączone w równania Navier'a-Stokes'a, które wiążą długoczasowe średnie wartości różnych efektów fluktuacji prędkości z lokalnymi średnimi składowymi prędkości. Warunek zamknięcia dla całego układu równań często narzuca sformułowania członów turbulentnego transportu.

Druga trudność, którą uważam za fundamentalną, ma związek ze skalą - wiele ważnych problemów zawiera w sobie oddziaływujące zjawiska zachodzące w kilku skalach. Jest to cecha, która wyklucza użycie parametrów podobieństwa.

Przykład, który natychmiast przychodzi mi na myśl, dotyczy spalania gazu wyrzucanego przez coś, co jest nazywane "pochodniowy komin", - dla tych spoza przemysłu naftowego - przez wielką pionową rurę. Średnica tego komina jest jedną skalą długości, zaś średnia prędkość wypływającego gazu stanowi jedną skalę prędkości. Ale zawsze jest i wiejący wiatr, i szybkość wiatru wprowadza drugą skalę prędkości. Ponadto, średni rozmiar turbulentnych powiewów w wietrze definiuje drugą skalę prędkości. Tak więc wyginanie się strugi gazu na wietrze i mieszanie się gazu z przepływającym powietrzem jest problemem o dwóch skalach długości i dwóch skalach prędkości. Ale pochodniowe kominy są budowane po to, by spalać uciekający gaz, zaś reakcje chemiczne zachodzą w trzeciej jeszcze skali - wewnątrz cienkiego płomienia, którego grubość jest zdeterminowana przez średnią drogę swobodną molekuł i przez przebieg reakcji chemicznej o określającej go prędkości, często zwanej "szybkością płomienia." To definiuje trzecią parę skal, o wiele mniejszych niż każda z pierwszych dwóch. Ale mimo wszystko, wymiana pędu, mieszanie się i spalanie są wszystkie powiązane z sobą. Obecnie takie procesy rozwiązywanie są numerycznie, a zaprojektowanie korzystnej numerycznej siatki jest zawsze niełatwe.

Pozwólcie mi teraz na uogólnienie tego: nowa matematyka stosowana pozwala na naukowe przewidywanie. Nie sądzę aby było coś nowego w tym stwierdzeniu, poza faktem, że coraz więcej dziedzin badawczych zdaje sobie z tego sprawę. Co jest być może nowe, to to, że w niektórych dziedzinach, np. w wysokoszybkościowej aerodynamice, przewidywanie w dużym stopniu zastąpiło eksperymenty. I tak, w wysokoszybkościowej aerodynamice, obliczeniowe przewidywanie szczegółów pola przepływu wokół skrzydła, a nawet wokół całego samolotu, zastąpiło sporo eksperymentowania w tunelu wiatrowym [aerodynamicznym].

Postawię to w kontekście tego, co robi nauka. Wydaje mi się, że nauka jest zaangażowana w dwa bardzo różne działania. Jedno ustala fakty, a drugie czyni przewidywania.

W nauce, fakty nie są ustalane łatwo. Wyłaniają się one, jako zgoda społeczności naukowców, z szeregu eksperymentów, w których sprawdzane są hipotezy, analizowane błędy, ulepszane projekty doświadczeń, przeprowadzane nowe doświadczenia, otrzymywane lepsze wyniki, itd. Niekiedy projekt doświadczenia jest radykalnie zmieniany kiedy stają się dostępne nowe teorie i nowe metody eksperymentalne, ale taki właśnie ciąg jest kontynuowany. Wydaje mi się, że podobny proces zachodzi i w matematyce, z tą dużą różnicą, że poprawność matematycznego dowodu może być sprawdzona z ominięciem wewnętrznej niepewności eksperymentalnej nauki.

Naukowe przewidywanie jest czymś całkowicie różnym. Jest wynikiem pewnego modelu, konstrukcji, która zawiera w sobie istotne dla niej fakty oraz odpowiednią matematyczną strukturę wyprowadzoną z pewnej teoretycznej bazy i niezbędnych algorytmów. Przewidywanie jest skalibrowane dla rozpatrywanej sytuacji i powinno być uwiarygodnione gdy tylko stają się dostępne wyniki kontrolowanych eksperymentów. Model otrzymuje na wejściu pomiary i obserwacje i produkuje przewidywania jako pożyteczne wielkości które są kosztowne do zmierzenia, albo w ogóle nie mogą być zmierzone.

Niezależnie od tego, czy wynik z modelu jest użyty do przewidywania stabilności jakiegoś budynku w trzęsieniu ziemi, czy dynamiki populacyjnej jakiegoś gatunku zagrożonej ryby dla określenia odpowiednich limitów połowu, albo obciążenia podatkowego przyszłej siły roboczej wynikającego ze służby zdrowia dla ich rodziców, tak aby sterować polityką podatkową - jakaś forma stosowanej matematyki zawsze znajduje się w sercu procesu tego przewidywania.

Jest jednak coś więcej w stosowanej matematyce, coś jeszcze innego, i przedstawię to w taki sposób, by nie było to ograniczone do moich własnych doświadczeń. Powiem kilka słów o kreatywności.

Moją ulubioną definicją kreatywności jest dostrzeganie tego, czego inni nie dostrzegli, i uczynienie tego widocznym. Michelangelo zobaczył Dawida w bloku marmuru; Kekulé śnił o wężu połykającym swój ogon i opisał pierścień molekuły benzenu. Einstein widział grawitację jako zakrzywione powierzchnie w czasoprzestrzeni, a Jeans widział przestrzeń fazową o dwukrotnie 6x10²³ wymiarach, gdy opisywał ruch molekuł gazowych w przestrzeni.

To prowadzi mnie do nazwania bardzo śmiało nowej matematyki stosowanej kluczem do kreatywności w tych dziedzinach nauki gdzie zrozumienie tonie w powodzi danych - gdzie wymagane są nowe sposoby widzenia aby przełamać ludzkie poznawcze bariery do zrozumienia ogromnej ilości danych produkowanych przez nowoczesne techniki pomiarowe.

Bioinformatyka jest tego oczywistym przykładem i najbardziej dyskutowanym. Ale pomyślmy o matematyce stojącej za ekplozywnie rosnącym polem medycznej wizualizacji. Pomyślmy o stosach danych przychodzących z satelitów obserwujących Ziemię, pomyślmy o szeregach czasowych giełdowych cen akcji, pomyślmy o milionach liczb produkowanych przez komputerowe modele przepływu wokół skrzydeł samolotu, pomyślmy o widmach milionów gwiazd, i wielu, wielu innych źródłach ogromnych ilości danych, które muszą być przetworzone w informacje a w końcu w wiedzę.

Nowa matematyka stosowana pomaga uczonym we wszystkich tych dziedzinach zobaczyć co te dane znaczą. Niekiedy to zobaczenie jest metaforyczne, jak dostrzeżenie pewnych nowych związków, korelacji na początek a potem przyczynowych połączeń - jak np. istnienie planet wokół odległych gwiazd, wywnioskowane z chwiania się w ruchu gwiezdnym, ale czasami to zobaczenie będzie bardziej fizyczne - jak w mapach pola temperaturowego wytwarzanego w Pacyfiku przez El Niño, lub jak w czasowo-rzeczywistym widoku ludzkiego mózgu odpowiadającego na stymulanty.

Chyba pierwszy raz usłyszałem to od Petera Borwein'a: "Matematyka jest językiem wysokiej technologii." Zaprawdę jest nim, ale ja myślę, że matematyka staje się również nowymi oczami nauki.

Dziękuję.

(z angielskiego tłumaczył Andrzej Kobos)

Copyright © 1997-2007 Zwoje