MATHEMATICS

THE NEW EYES OF SCIENCE

TOM BRZUSTOWSKI

Natural Sciences and Engineering Research Council of Canada

I want to share with you some observations and thoughts about mathematics, and I ask you to accept them as the observations of a sympathetic non-mathematician whose perspective is undoubtedly limited.

I feel that I'm seeing the emergence of a new applied mathematics.

From my experience as an engineer, the old applied mathematics went something like this: The behaviour of some particular form of matter under particular circumstances - call it a "phenomenon" - was described by a "law" expressed by an equation. The combination of such phenomena that was a useful representation of something real and interesting was described by a set of equations that had to be solved. There was little question that the equations were "right." It was also assumed that issues such as the existence of a solution had already been settled by somebody else; the goal was to see the details.

The research involved solving the - generally transient and nonlinear - partial differential equations with initial and boundary conditions that reflected the reality of the situation being described. If solutions previously developed for other problems could be cobbled together to provide the needed solution, so much the better. The mathematics might not be new, but the practical result was.

But sometimes something entirely new was needed, with little intuition to provide guidance. To help develop some feeling for the expected solution, clever people developed linearizations, limiting cases, quasi-steady approximations, etc., and the occasional closed-form solution of some related problem. A result of this kind was sometimes important enough to be called somebody's laws on its own. But the challenge was to get the solution to the full problem, in whatever way worked.

In a newer applied mathematics that I encountered in my own research, the difficulties had increased in two ways that seem to me fundamental: first, the laws describing the phenomena being described were incompletely known, even if the framework of equations in which they were imbedded was well established. Indeed such laws sometimes need to be formulated in a way that reflects the mathematical requirements of solving the governing equations more than the physics of the processes taking place. One example are the various laws of turbulence plugged into the Navier-Stokes equations that relate the long-time average values of various products of velocity fluctuations to the local mean velocity components. A closure condition for the whole set of equations often drives the formulation of the turbulent transport terms.

The second difficulty that I view as fundamental has to do with scale - many important problems involved interacting phenomena occurring on several scales, a feature that rules out the convenient use of similarity parameters.

The example that comes to my mind most readily has to do with the burning of gas blown out of what is known as a "flare stack" - a great big vertical pipe, for those outside of the oil and gas industry. The diameter of the stack provides one length scale and the mean velocity of the gas flowing out of provides one velocity scale. But there is always a wind blowing, and the wind speed provides another velocity scale. More than that, the average size of the turbulent gusts in the wind defines yet another length scale. So the bending over of the gas jet in the wind and the mixing of the gas with the flowing air is a problem with two length scales and two velocity scales. But flares are built to burn the escaping gas, and chemical reactions take place on yet a third scale - within a thin flame whose thickness is determined by the mean free path of molecules and the rate of the chemical reaction, with a corresponding velocity often called the "flame speed." That defines yet a third pair of scales, much smaller than either of the first two. And yet the momentum exchange, the mixing, and the combustion are all related. Such processes are now solved numerically, and the design of a useful grid is always a challenge.

Let me now generalize this: the new applied mathematics enables scientific prediction. I don't think there's anything very new in that statement, except for the fact that more in more fields are now aware of it. What is new, perhaps, is that in some fields, e.g.: high-speed aerodynamics, the prediction has largely replaced experiments - again in high-speed aerodynamics, the computational prediction of the details of the flow field around a wing or even a whole aircraft has replaced much wind-tunnel experimentation.

Let's put this in the context of what science does. It seems to me that science engages in two very different activities. One is establishing facts, the other is making predictions.

Facts are not easily established in science. They emerge by agreement of the scientific community from a sequence of experiments in which a hypothesis is tested, errors analyzed, experimental design improved, better experiments carried out, better results obtained, and so on. Sometimes the design of the experiment is changed radically as new theories and new experimental methods become available, but the sequence continues. It seems to me that there is a largely similar process in mathematics, with the large difference that the correctness of a mathematical proof can be verified without the inherent uncertainty of experimental science.

Scientific prediction is something entirely different. It is the output of a model, a construct that incorporates the relevant facts, an appropriate mathematical structure deriving from some theoretical basis, and the necessary algorithms. It is calibrated for the situation of interest, and should be validated whenever the results of controlled experiments become available. The model receives measurements and observations as input, and produces predictions of useful quantities that are expensive to measure or can't be measured at all.

Whether the output of the model is used to predict the stability of a building in an earthquake, or the population dynamics of an endangered fish species to determine appropriate fishing quotas, or the tax burden on the future workforce of the health care costs of their ancestors to guide tax policy, some form of applied mathematics is always at the heart of the process of making the prediction.

But there is more to the new applied mathematics that is different still, and I shall introduce it in a very different way so that it might not be limited by my own experience.

I shall say a few words about creativity.

My favourite definition of creativity is seeing what others have not seen, and making it visible. Michelangelo saw David in the block of marble; Kekulé dreamed about a serpent swallowing its tail and described the ring molecule of benzene, Einstein saw gravity in terms of curved surfaces in space-time, and Jeans saw a phase space of twice 6x10²³ dimensions in describing the motion of gas molecules in space.

That leads me to describe the new applied mathematics very boldly as the key to creativity in those fields of science where understanding is drowning in a flood of data - where new ways of seeing are required to break through human cognitive barriers to understanding in the face of the enormous amount of data produced by modern measurement techniques.

Bioinformatics is an obvious example, and one discussed the most. But think of the mathematics behind the explosively growing field of medical imaging. Think of the reams of data coming from satellites that observe the earth, think of the time series of stock prices, think of the millions of numbers produced from the computer models of the flow of air over aircraft wings, think of the spectra of millions of stars, and many, many other sources of vast amounts of data that need to be turned into information, and eventually knowledge.

The new applied mathematics helps scientists in all these fields see what the data mean. Sometimes the seeing is metaphorical, as in seeing new relationships - correlations to start with, then causal links - e.g.: inferring the existence of planets around distant stars from the wobble in the stellar motion, but sometimes the seeing will be much more physical - as in maps of the water temperature field in the Pacific that produces El Niño, or as in the real-time view of the human brain responding to stimuli.

I think I heard this first from Peter Borwein: "Mathematics is the language of high technology." Indeed it is, but I think it is also becoming the new eyes of science.

Thank you.

MATEMATYKA

NOWE OCZY NAUKI

TOM BRZUSTOWSKI

Natural Sciences and Engineering Research Council of Canada

Mam poczucie iz widze wylanianie sie nowej matematyki stosowanej.

Z mojego doswiadczenia jako inzyniera, dawna stosowana matematyka dzialala mniej wiecej tak: Zachowanie sie pewnych szczegolnych form materii w szczegolnych warunkach - nazwijmy to "zjawisko" - bylo opisane przez jakies "prawo" wyrazone jakims rownaniem. Kombinacja takich zjawisk, ktora byla uzyteczna reprezentacja czegos rzeczywistego i interesujacego byla opisana przez uklad rownan, ktore nalezalo rozwiazac. Nie bylo kwestii, czy te rownania byly "poprawne." Zakladalo sie, ze takie zagadnienia jak istnienie rozwiazania byly juz zalatwione przez kogos innego; celem bylo dostrzezenie szczegolow.

Badania polegaly na rozwiazywaniu - w ogolnosci przejsciowych i nieliniowych - czastkowych rownan rozniczkowych z takimi warunkami poczatkowymi i ograniczeniami, ktore odzwierciedlaly opisywana sytuacje. Jezeli rozwiazania rozwiniete poprzednio dla innych problemow mogly zostac ulozone razem w pewien "bruk", tak aby znalezc rozwiazanie, to tym bylo o wiele lepiej. Matematyka mogla nie byc nowa, ale praktyczny wynik byl.

Ale czasem bylo potrzebne cos calkowicie nowego, a intuicji, bedacej przewodnikiem, bylo niewiele. Aby ulatwic pewne wyczucie co do spodziewanych rozwiazan, sprytni ludzie wymyslili linearyzacje, przypadki graniczne, quasi-stabilne przyblizenia itd. oraz niekiedy rozwiazania w zamknietej formie dla pewnych pokrewnych problemow. Tego rodzaju wynik byl niekiedy na tyle wazny, by zostal sam nazwany czyims prawem. Ale wyzwaniem bylo otrzymanie rozwiazania dla pelnego problemu, w jakikolwiek sposob, ktory by dzialal.

W nowszej matematyce stosowanej, ktora napotkalem w moich wlasnych badaniach naukowych, trudnosci zwiekszyly sie w dwoch kierunkach, ktore mnie wydaja sie fundamentalne.

Po pierwsze, prawa opisujace zjawiska wchodzace w gre nie byly znane w pelni, nawet jezeli system rownan, w ktorych te prawa byly zawarte, byl dobrze ustalony. W rzeczywistosci, niekiedy takie prawa musza byc sformulowane w sposob, ktory bardziej jest odbiciem wymagan rozwiazalnosci rzadzacych rownan niz odbiciem fizyki zachodzacego procesu. Przykladem tego sa rozne prawa turbulencji, wlaczone w rownania Navier'a-Stokes'a, ktore wiaza dlugoczasowe srednie wartosci roznych efektow fluktuacji predkosci z lokalnymi srednimi skladowymi predkosci. Warunek zamkniecia dla calego ukladu rownan czesto narzuca sformulowania czlonow turbulentnego transportu.

Druga trudnosc, ktora uwazam za fundamentalna, ma zwiazek ze skala - wiele waznych problemow zawiera w sobie oddzialowujace zjawiska zachodzace w kilku skalach. Jest to cecha, ktora wyklucza uzycie parametrow podobienstwa.

Przyklad, ktory natychmiast przychodzi mi na mysl, dotyczy spalania gazu wyrzucanego przez cos, co jest nazywane "pochodniowy komin", - dla tych spoza przemyslu naftowego - przez wielka pionowa rure. Srednica tego komina jest jedna skala dlugosci, zas srednia predkosc wyplywajacego gazu stanowi jedna skale predkosci. Ale zawsze jest i wiejacy wiatr, i szybkosc wiatru wprowadza druga skale predkosci. Ponadto, sredni rozmiar turbulentnych powiewow w wietrze definiuje druga skale predkosci. Tak wiec wyginanie sie strugi gazu na wietrze i mieszanie sie gazu z przeplywajacym powietrzem jest problemem o dwoch skalach dlugosci i dwoch skalach predkosci. Ale pochodniowe kominy sa budowane po to, by spalac uciekajacy gaz, zas reakcje chemiczne zachodza w trzeciej jeszcze skali - wewnatrz cienkiego plomienia, ktorego grubosc jest zdeterminowana przez srednia droge swobodna molekul i przez przebieg reakcji chemicznej o okreslajacej go predkosci, czesto zwanej "szybkoscia plomienia." To definiuje trzecia pare skal, o wiele mniejszych niz kazda z pierwszych dwoch. Ale mimo wszystko, wymiana pedu, mieszanie sie i spalanie sa wszystkie powiazane z soba. Obecnie takie procesy rozwiazywanie sa numerycznie, a zaprojektowanie korzystnej numerycznej siatki jest zawsze nielatwe.

Pozwolcie mi teraz na uogolnienie tego: nowa matematyka stosowana pozwala na naukowe przewidywanie. Nie sadze aby bylo cos nowego w tym stwierdzeniu, poza faktem, ze coraz wiecej dziedzin badawczych zdaje sobie z tego sprawe. Co jest byc moze nowe, to to, ze w niektorych dziedzinach, np. w wysokoszybkosciowej aerodynamice, przewidywanie w duzym stopniu zastapilo eksperymenty. I tak, w wysokoszybkosciowej aerodynamice, obliczeniowe przewidywanie szczegolow pola przeplywu wokol skrzydla, a nawet wokol calego samolotu, zastapilo sporo eksperymentowania w tunelu wiatrowym [aerodynamicznym].

Postawie to w kontekscie tego, co robi nauka. Wydaje mi sie, ze nauka jest zaangazowana w dwa bardzo rozne dzialania. Jedno ustala fakty, a drugie czyni przewidywania.

W nauce, fakty nie sa ustalane latwo. Wylaniaja sie one, jako zgoda spolecznosci naukowcow, z szeregu eksperymentow, w ktorych sprawdzane sa hipotezy, analizowane bledy, ulepszane projekty doswiadczen, przeprowadzane nowe doswiadczenia, otrzymywane lepsze wyniki, itd. Niekiedy projekt doswiadczenia jest radykalnie zmieniany kiedy staja sie dostepne nowe teorie i nowe metody eksperymentalne, ale taki wlasnie ciag jest kontynuowany. Wydaje mi sie, ze podobny proces zachodzi i w matematyce, z ta duza roznica, ze poprawnosc matematycznego dowodu moze byc sprawdzona z ominieciem wewnetrznej niepewnosci eksperymentalnej nauki.

Naukowe przewidywanie jest czyms calkowicie roznym. Jest wynikiem pewnego modelu, konstrukcji, ktora zawiera w sobie istotne dla niej fakty oraz odpowiednia matematyczna strukture wyprowadzona z pewnej teoretycznej bazy i niezbednych algorytmow. Przewidywanie jest skalibrowane dla rozpatrywanej sytuacji i powinno byc uwiarygodnione gdy tylko staja sie dostepne wyniki kontrolowanych eksperymentow. Model otrzymuje na wejsciu pomiary i obserwacje i produkuje przewidywania jako pozyteczne wielkosci ktore sa kosztowne do zmierzenia, albo w ogole nie moga byc zmierzone.

Niezaleznie od tego, czy wynik z modelu jest uzyty do przewidywania stabilnosci jakiegos budynku w trzesieniu ziemi, czy dynamiki populacyjnej jakiegos gatunku zgrozonej ryby dla okreslenia odpowiednich limitow polowu, albo obciazenia podatkowego przyszlej sily roboczej wynikajacego ze sluzby zdrowia dla ich rodzicow, tak aby sterowac polityka podatkowa - jakas forma stosowanej matematyki zawsze znajduje sie w sercu procesu tego przewidywania.

Jest jednak cos wiecej w stosowanej matematyce, cos jeszcze innego, i przedstawie to w taki sposob, by nie bylo to ograniczone do moich wlasnych doswiadczen. Powiem kilka slow o kreatywnosci.

Moja ulubiona definicja kreatywnosci jest dostrzeganie tego, czego inni nie dostrzegli, i uczynienie tego widocznym. Michelangelo zobaczyl Dawida w bloku marmuru; Kekulé snil o wezu polykajacym swoj ogon i opisal pierscien molekuly benzenu. Einstein widzial grawitacje jako zakrzywione powierzchnie w czasoprzestrzeni, a Jeans widzial przestrzen fazowa o dwukrotnie 6x10²³ wymiarach, gdy opisywal ruch molekul gazowych w przestrzeni.

To prowadzi mnie do nazwania bardzo smialo nowej matematyki stosowanej kluczem do kreatywnosci w tych dziedzinach nauki gdzie zrozumienie tonie w powodzi danych - gdzie wymagane sa nowe sposoby widzenia aby przelamac ludzkie poznawcze bariery do zrozumienia ogromnej ilosci danych produkowanych przez nowoczesne techniki pomiarowe.

Bioinformatyka jest tego oczywistym przykladem i najbardziej dyskutowanym. Ale pomyslmy o matematyce stojacej za ekplozywnie rosnacym polem medycznej wizualizacji. Pomyslmy o stosach danych przychodzacych z satelitow obserwujacych Ziemie, pomyslmy o szeregach czasowych gieldowych cen akcji, pomyslmy o milionach liczb produkowanych przez komputerowe modele przeplywu wokol skrzydel samolotu, pomyslmy o widmach milionow gwiazd, i wielu, wielu innych zrodlach ogromnych ilosci danych, ktore musza byc przetworzone w informacje a w koncu w wiedze.

Nowa matematyka stosowana pomaga uczonym we wszystkich tych dziedzinach zobaczyc co te dane znacza. Niekiedy to zobaczenie jest metaforyczne, jak dostrzezenie pewnych nowych zwiazkow, korelacji na poczatek a potem przyczynowych polaczen - jak np. istnienie planet wokol odleglych gwiazd, wywnioskowane z chwiania sie w ruchu gwiezdnym, ale czasami to zobaczenie bedzie bardziej fizyczne - jak w mapach pola temperaturowego wytwarzanego w Pacyfiku przez El Niño, lub jak w czasowo-rzeczywistym widoku ludzkiego mozgu odpowiadajacego na stymulanty.

Chyba pierwszy raz uslyszalem to od Petera Borwein'a: "Matematyka jest jezykiem wysokiej technologii." Zaprawde jest nim, ale ja mysle, ze matematyka staje sie rowniez nowymi oczami nauki.

Dziekuje.

(z angielskiego tlumaczyl Andrzej Kobos)

Copyright © 1997-2000 Zwoje